Integral von 1/cos²

mersdusud · 14. November 2019 um 11:11

Liebe Experten!

Ich habe eine Frage zum Integral 1/cos²(x)

Habs mit partieller Integration versucht, da rechne ich im Kreis. Meine Ide war einfach aus der Angabe ein cos-2(x) zu machen und dann einfach integrieren und durch die Verkettung der Angabe noch mal 1/innere Ableitung.

Dann käme aber cos-1/(-1)*1/-sin +c heraus. Was mich nun verwirrt ist, dass der Sinus eigentlich oben stehen müsste, dann käme die richtige Lösung tan(x)+c heraus.

Aber man multipliziert doch immer mit dem Kehrwert der inneren Ableitung oder habe ich da was falsch verstanden?

Blackhawk111 · 14. November 2019 um 11:14

1/cos²x = (cos²x)^-1 = 1+tan²x für aller x ungleich PI/2+k*PI

Martin · 14. November 2019 um 11:19

Hallo,

Ich habe eine Frage zum Integral 1/cos²(x)

Habs mit partieller Integration versucht, da rechne ich im Kreis.

Ja, PI führt hier nicht zum Erfolg.

Kurzanleitung: cos darstellen als (e^ix + e^–ix)/2. Nenner des Integranden ausmultiplizieren und vereinfachen. Substitution t = e^2ix liefert schließlich –1/(t + 1)² als neuen Integranden mit unproblematischer Stammfunktion. Integral auflösen. Substitution rückgängig machen. e^2ix in kartesische Form bringen. Term Schritt für Schritt vereinfachen und dabei verwenden: cos(2x) = c² – s² und sin(2x) = 2sc und s² + c² = 1 und s/c = tan(x). Keine Sorge wegen des durch die Substitution entstandenen i; es verschwindet erst spät.

Viel Vergnügen!

Wenn jemand noch einen alternativen (funktionierenden) Weg kennt, bitte mich wissen lassen.

Meine Ide war einfach aus der Angabe ein cos-2(x) zu machen und dann einfach
integrieren und durch die Verkettung der Angabe noch mal 1/innere Ableitung.

Wer erzählt Dir einen solchen Unfug? Die Kettenregel der Differentiation lässt sich leider nicht auf diese Weise umkehren. Überzeuge Dich davon bitte anhand irgendeines selbstausgedachten Billigbeispiels.

Dann käme aber cos-1/(-1)*1/-sin +c heraus. Was mich nun

Dass hier was „fast Richtiges“ herauskommt, ist purer Zufall.

Gruß
Martin

Blackhawk111 · 14. November 2019 um 11:23

Ist schon lange her, aber ich hätte auch die Kettenregel genommen.
Allerdings nicht mit 1/cos²x.
Wenn ich mich richtig erinnere, habe ich da ^-1 (1/) als äußere, cos2 als mittlere und cosx als inner Funktion. Wenn ich das ganze durch 1+tan²x ersetze, hätte ich tan2 als äußere und tan x als innere.
Substitution: tanx = a, macht 1+a². Intergrieren und dann tan integrieren und das in die erste Integration für a einsetzen.

Ich kann mich hier aber auch irren. Muss ich am WE mal durchrechnen.