Lösung eines linearen Gleichungssystem

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo ich hab hier folgende Aufgabe:
Prüfen Sie, für welche a, b das lineare Gleichungssystem lösbar ist, und bestimmen Sie im Fall der Lösbarkeit die Lösungsmenge:

Ich hab das Gleichungssystem schon mal in die Koeffizientenmatrix A’ überführt:

\large
A^\prime = \begin {array}{rrrr|r}
1 & 2 & \quad 0 & -1 & 2 \
1 & 2 & 1 & 1 & 1 \
2 & 4 & 1 & a & 5 \
-2 & -4 & 3 & -4 & b
\end {array}

Und in Treppennormalform T’ gebracht:

\Large
T^\prime = \begin {array}{rrrr|l}
1 & 2 & 0 & 0 & {17 - b \over 12} \
0 & 0 & 1 & 0 & {b + 1 \over 6} \
0 & 0 & 0 & 1 & {-b -7 \over 12} \
0 & 0 & 0 & 0 & {a(b+7) \over 12} +2
\end {array}

Doch jetzt häng ich, mir ist klar das:

{a(b+7) \over 12} +2

Null sein muss.

Aber wie formuliere ich jetzt mathematisch korrekt die Lösungsmenge?

Mein Versuch wäre:

\Large
L = \begin {pmatrix}
{17 - b \over 12} \
{b + 1 \over 6} \
{-b -7 \over 12} \
{a(b+7) \over 12} +2
\end {pmatrix} |: {a(b+7) \over 12} +2 = 0

Stimmt das so?
Ich denke nicht.

Danke an alle die mir helfen.

#2

Wie Du schon richtig erkannst hast, ist das LGS für den Fall, dass a(b+7)/12 +2 ungleich Null ist, unlösbar. Ist der Ausdruck 0, gibt es unendlich viele Lösungen, da das LGS dann unterbestimmt ist (Du hast 4 Gleichungen für 3 Unbekannte. Sinnvollerweise wählt man dann für eine Variable einen Parameter (z. B. a=t mit t ungleich 0) und schreibt dann die Lösungen in Abhängigkeit von t. Es gilt dann b=(-7t-24)/t und das setzt man in die anderen Gleichungen ein. Ich habe das LGS allerdings nicht nachgerechnet…:wink:. Hope this helps. Gruß Martin

#3

Vielen Dank

#4

Hallo
Ich meine, das Gleichungssystem sei unlösbar, denn die Treppennormalform enthält für die 4. Variable einen Widerspruch: Laut letzter Zeile ist der Wert für diese Variable beliebig, sofern auch die rechte Seite Null gesetzt wird (was Du ja gemacht hast!). Die zweitletzte Zeile müsste dann also für alle reellen Zahlen (die man ja für die 4. Variable wählen darf) immer gleich viel geben: -(b+7)/12! Das stimmt aber nie, egal was man für b einsetzt!

Ich bin gespannt, was andere Dir raten!

Mit freundlichen Grüssen
Peter Matl

#5

Danke für deine Antwort

#6

Hallo.

Also wenn a(b+7)/12 + 2 = 0 sein muss, was hindert dich daran, a in Abh. von b auszudrücken und in die anderen Gleichungen einzusetzen?

Viele Grüsse.

#7

Nachtrag:
Die ersten beiden Spalten der Matrix A’ sind besonders:
Die zweite ist das Doppelte der ersten! Dies ist ein Indiz dafür, dass ein Sonderfall (keine Lösung oder eine Lösungsschar) vorliegt.

Danke für deine Antwort

#8

Tut mir leid ich steh am schlauch.
Wie soll ich das ausdrücken?

#9

Hallo

Wenn Deine Treppennormalform stimmt (ich habe nicht nachgerechnet), kann man sagen:
Das Gleichungssystem hat nur eine Lösung, falls die "Formparameter a, b die Gleichung
a(b+7)/12 + 2 = 0 erfüllen.
Die Lösungen lauten dann „Rückwärtseinsetzen“
x4 =(-b+7)/12
x3 = (b+1)/6
x2 = t (eine beliebige Zahl)
x1 = (17-b)/12 - 2t

Lösungsmenge im Fall, dass a(b+12) + 24 = 0
L = (x1, x2, x3, x4) mit obigen Werten,
sonst keine Lösung.

Viele Grüsse
Egon

#10

Vielen Dank jetzt hab ich’s.

#11

In dem Du die Gleichung nach einer der Variablen auflöst und und in die verbliebenen einsetzt?

Tut mir leid ich steh am schlauch.
Wie soll ich das ausdrücken?