Mathematik
Von: ѕаbіnе1988, 18.12.2009 15:21 Uhr
hallo!

hab eine Frage:
ich soll oben angegebene Gleichung durch Logarithmieren lösen!
steh aber auf der leitung!
Lösung wäre x = 0,5

IDEEN?????

Danke



  1. Antwort von ΗеrrdеrRіngе4711 1
    Re: Logarithmus: 3 * 2 hoch (2x - 1) = 4 hoch (x) + 1
    Hallo!

    Dann habe ich auch eine Frage, wofür ist die Lösung? Schule, Ausbildung, Studium? Reine Neugier :).

    Zur Lösung:

    Um die Aufgabe lösen zu können führe ich zwei Umformungen durch, zum Einen ersetze ich 3 durch 1,5*2 und zum Anderen ersetze ich 4 hoch x indem ich 4=2 hoch 2 ersetze durch 2 hoch (2x).
    Dann ergibt sich ("hoch" ersetze ich durch "^"):
    1,5 * 2 * 2^(2x-1) = 2^(2x) + 1
    dann erinnere ich mich daran, dass a * a^b = a^(b+1) ist und forme um:
    1,5 * 2^(2x) = 2^(2x) + 1 und dividiere durch 2^(2x)
    es ergibt sich:
    1,5 = 1 +2^(-2x)
    0,5 = 2^(-2x)
    log (0,5) = log (2^(-2x)
    log (0,5) = -2x * log (2)
    zudem ist : log (0,5) = - log (2) daher:
    - log(2) = -2x * log (2) dividiert durch log (2):
    -1 = -2x
    x = 0,5

    Das logarithmieren hätte man sich auch sparen können, aber das war ja Bestandteil der Aufgabe, wenn ein Schritt unklar gewesen sein sollte einfach nachfragen, ich erkläre es auch gerne ausführlicher. Hoffe es hat geholfen,

    Liebe Grüße,

    Dennis
    3 Kommentare
    • Re^2: Logarithmus: 3 * 2 hoch (2x - 1) = 4 hoch (x) + 1
      Hallo!
      Danke für die sehr ausführliche Antwort! Studiere Lehramt Mathematik in Österreich für den Hauptschulbereich!

      Hab als zweites Fach Sport --> worin eindeutig meine Begabung liegt :-)
      Müssen aber ein Hauptfach (Deutsch, Englisch, Mathe) wählen!


      Deine Erklärungen waren sehr logisch an einer stelle hänge ich aber trotzdem.
      Warum ergibt sich
      wenn ich 2^(2x) + 1 durch 2^(2x) dividiere
      1 + 2^(-2x))???????

      Danke noch mal für die Antwort hat mir trotzdem sehr für meine Prüfung am Montag geholfen!

      Wenn du noch zeit und Lust hast :-) hier noch zwei "kleine" Beispiele bei denen ich nicht weiter komme:

      (1) wiedermal Gleichung lösen durch Logarithmieren:
      x^wurzel(x) = (Wurzel(x))^x

      (2) Differenzieren: ersten zwei ableitungen nach x (a konstant)

      f (x) = ln(wurzel(ax))


      Würd mich freuen wieder von dir zu hören!

      Liebe Grüße
      Sabine
    • Re^3: Logarithmus: 3 * 2 hoch (2x - 1) = 4 hoch (x) + 1
      Zur RÜckfrage:

      Ich muss jeden der beiden Summanden durch 2^(2x) dividieren, 2^(2x)/2^(2x)=1 und 1/2^(2x) sind die beiden Terme die sich dann ergeben, nehme ich den Kehrwert eines Terms kehrt sich das VOrzeichen des Exponenten um, z.B.: 1/a^(x) = a^(-x)

      Zu den beiden anderen Gleichungen:

      x^(Wurzel(x)) = Wurzel(x)^x
      Es ist wichtig zu wissen, dass Wurzel(x) = x^(0,5) ist
      Durch log ergibt sich:
      log(x(Wurzel(x))) = log (Wurzel(x)^(x))
      Es gilt: log(a^b) = b*log(a)
      Daher:
      Wurzel(x)* log(x) = x* log (Wurzel (x))
      Wurzel (x) *log(x) = x* log (x^(0,5))
      Wurzel (x) *log(x) = 0,5*x*log(x)
      Durch log (x) dividiert:
      Wurzel (x) = 0,5*x
      Die Gleichung ist nur für x=4 erfüllbar, das ganze kannst du aber natürlich auch durch quadrieren und lösen per pq-Formel beweisen.

      f(x)=ln(wurzel(ax))
      Die Ableitung von ln(x) ist 1/x Die Ableitung von wurzel(x) ist 1/(2*wurzel(x)) das ist das selbe wie 1/2*x^(-0,5)
      Angewendet werden muss die Kettenregel:
      f´(x) = 1/(wurzel(ax))*1/(2*wurzel(ax))
      f´(x) = 1/(2*ax)
      f´´(x) = -1/(2ax^2)

      Ich hoffe das hat dir geholfen, viel Glück fürs Studium!
    • Re^4: Logarithmus: 3 * 2 hoch (2x - 1) = 4 hoch (x) + 1
      Danke vielmals für deine Hilfe hab
      jetzt endlich alles verstanden!!!!!!!!!!
      muss nur mehr die prüfung bestehen!

      wünsche frohe weihnachten und nochmals danke!
      sabine