Quadratische Gleichung Problem mit Aufgabenteil c)

Wissenschaft Mathematik
#1

Zum besseren Verständnis schreibe ich mal die ganze Aufgabe hin und schlidere dann das Problem das ich habe:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=-0,5x^2+1,5x-1,125; x Element R

a) Zeigen Sie, dass die zugehörige Parabel K die x-Achse berührt.

–> Soweit klar, ich berechne also die Diskriminante der „Mitternachtsformel“
b^2-4ac

1,5^2-4*(-0,5)*(-1,152) = 0 somit gibt es eine Lösung. Das heißt die Funktion berührt die X-Achse.

b) Entscheiden sie, ob der Punkt P(-1/-3,2) auf oder unterhalb der Parabel K liegt.

–> auch hier alles noch easy. Ich setzte also den Punkt ein und erhalte

-3,125 ungleich -3,2 somit liegt der Punkt unterhalb der Parabel K.

c) Die Gerade mit der Gleichung x=u (0

#2

Also ich habe mir mal eine Skizze gemacht um herauszufinden was hier gemeint sein Könnte. Da die Gerade ja entlang der x-Achse verläuft bin ich nun von dem Punkt (0,75/0) parallel zur y-Achse nach unten gegangen bis ich die Parabel schneide. Den Punkt auf der Parabel habe ich berechnet in dem ich für x= 0,75 eingesetzt habe.

Es kommt -9/32 heraus. Das Bedeutet doch, dass P in diesem Fall (0,75/-9/32) ist.

mit U=2a*2b (da Rechteck mit den Koordinatenachsen)

U=2*0,75+2*(9/32)
U=33/16=2,0625

Ich hoffe jedenfalls dass meine Überlegung richtig ist.

So nun stehe ich aber erneut auf dem Schlauch. Jetzt soll ja meine Gleichung den kleinstmöglichen Wert annehmen. Wie kann ich das denn jetzt herausfinden?

hoffe ihr könnt mir hier auch noch weiterhelfen.

Danke!

#3

Hi.

So nun stehe ich aber erneut auf dem Schlauch. Jetzt soll ja
meine Gleichung den kleinstmöglichen Wert annehmen. Wie kann
ich das denn jetzt herausfinden?

Den kleinstmöglichen Wert in Abhängigkeit von ‚u‘!
Der Punkt P hat die Koordinaten ( u , f(u) ), so hast Du ihn ja auch berechnet.
Der Umfang des Rechtecks ergibt sich aus der Funktion g(u) = 2u + 2f(u). Das ist wieder eine Parabelfunktion, von der das Minimum gesucht ist. (Wobei der Bereich für u (der Definitionsbereich) laut Aufgabe eingeschränkt ist)

Gruß,
KHK

#4

Also das heißt ich löse auf somit käme heraus

g(u)=-3u^2+5u-2,25

Jetzt ergibt die Diskriminante aber einen negativen Wert wenn ich versuche zu lösen.

Also das ist es auch noch nicht. Der Zusammenhang ist mir klar. Aber was mach ich jezt damit?

#5

Also das heißt ich löse auf somit käme heraus

g(u)=-3u^2+5u-2,25

Ich käme auf -u^2 + 5u - 2,25 - aber :
Da war noch ein Vorzeichenproblem in meiner Antwort.
Die Gerade x=u verläuft senkrecht und schneidet den Graphen bei (u, f(u) ).
Daraus ergibt sich das Rechteck (0,0) - (0, f(u)) - (u, f(u)) - (u, 0).

Da die Parabel nach unten geöffnet ist, ist f(u) negativ, die Seitenlänge des Rechtecks ist daher -f(u), der Umfang ist 2u - 2f(u)

U(u) = 2*u - 2*( -0.5*x^2+1.5*x-1.125 ) = u^2 - u + 2.25 ; u in [0…3/2]

Gesucht ist das Minimum dieser quadratischen Funktion. Dafür brauchst Du die erste Ableitung.

Jetzt klar?

Gruß,
KHK

#6

Hallo,

U(u) = 2*u - 2*( -0.5*x^2+1.5*x-1.125 ) = u^2 - u + 2.25 ; u in [0…3/2]

Gesucht ist das Minimum dieser quadratischen Funktion. Dafür brauchst Du die erste Ableitung.

naja, bei einer quadratischen Funktion braucht man die Ableitung dazu nicht unbedingt. So geht es z. B. auch:

Zunächst ist x² + px + q an derselben x-Stelle extremal wie x² + px. Schreibt man das als Produkt x (x + p), so lassen sich direkt 0 und –p als Nullstellen ablesen. Die gesuchte Extremalstelle muss aus Symmetriegründen genau dazwischen liegen, mithin bei der Koordinate –p/2. Für die hiesige Funktion u² – u + 2.25 folgt umin = 0.5.

Gruß
Martin

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#7

Also das heißt ich löse auf somit käme heraus

g(u)=-3u^2+5u-2,25

Ich käme auf -u^2 + 5u - 2,25 -

Du hast recht, als ich es berechnet habe habe ich ausversehen eine Zahl fasch abgeschreiben, ich komme zum gleichen Ergebnis. Danke.

aber :

Da war noch ein Vorzeichenproblem in meiner Antwort.
Die Gerade x=u verläuft senkrecht und schneidet den Graphen
bei (u, f(u) ).
Daraus ergibt sich das Rechteck (0,0) - (0, f(u)) - (u, f(u))

  • (u, 0).

Da die Parabel nach unten geöffnet ist, ist f(u) negativ, die
Seitenlänge des Rechtecks ist daher -f(u), der Umfang ist 2u -
2f(u)

U(u) = 2*u - 2*( -0.5*x^2+1.5*x-1.125 ) = u^2 - u + 2.25 ; u
in [0…3/2]

Ja das mit dem Minus ist mir auch aufgefallen. War mir aber nicht ganz sicher wie ich es hineinbekomme. Habe es mir sehr ähnlich wie du noch verständlich gemacht. Schon beim ersten Teil als u=0,75 war, musste man hier aufpassen, da das Recheck ja nach unten geht. Dank deiner Anregung habe ich dann einfach das Rechteck nach oben verlegt und ein neues Rechteck gebildet, mit dem ich dann auf das gleiche Ergebnis komme wie du:

Rechteck (0,0); (0, -f(u)); (u, -f(u)); (u, 0).

Denn wenn ich jeweils -f(u) nehme bekomme ich positive Werte, mit denen ich dann wieder den Umfang berechnen kann.

U=2u+2*(-f(u)) was ja wieder wie bei dir 2u-2*f(u) ergibt.

Komme dann auch auf
U=u^2-u+2,25

Danke dir dafür.

Gesucht ist das Minimum dieser quadratischen Funktion. Dafür
brauchst Du die erste Ableitung.

U’=2u-1

2u-1=0
u=1/2=0,5

Ok das mit der Ableitung ist eine einfache Lösung. Super! Die Aufgabe sollte jedoch lösbar sein ohne Ableitung. Habe ja noch eine Andere Antwort bekommen ohne Ableitung.

Nochmals Danke ich hoffe es verstanden zu haben und schau mal ob es bei einem ähnlichen Problem auch klappt.

#8

Wow, ich danke recht herzlich. Auch wenn die Ableitungslösung so einfach ist, wollte ich doch einen Lösungsweg ohne Ableitung und du hast mir wirklich geholfen. Hab es verstanden. Danke.

Die Nullstellen wären hier 0 und 1 und die Mitte ist hier mein gesuchtes u und das ist 0,5

Nochmals Danke!