Stabile Verteilung-Matrix-Fixvektor

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo, ich verzweifle gerade an einer Matheaufgabe:
Übergangsmatrix: Q =
0,8 0,1 0 0,2
0 0,9 0 0,4
0,2 0 0,7 0
0 0 0,3 0,4

Dafür soll ich jetzt die prozentuale Verteilung angeben, die sich im Folgemonat nicht ändert.
Das heißt ja, dass ich Q x X = X habe, oder?
Dann komme ich ja zum LGS:
I -0,2x1 + 0,1x2 + 0,2x4 =0
II -0,1x2 + 0,4x4 =0
III 0,2x1 - 0,3x3 = 0
IV 0,3x3 - 0,6x4 = 0
x1 + x2 + x3 = 1

Ab da komme ich nicht weiter, da müsste es dann doch unendlich viele Lösungen geben?!
Vielen Dank für die Hilfe
Lena

#2

Hallo Lena.

Hallo, ich verzweifle gerade an einer Matheaufgabe:
Übergangsmatrix: Q =
0,8 0,1 0 0,2
0 0,9 0 0,4
0,2 0 0,7 0
0 0 0,3 0,4

Dafür soll ich jetzt die prozentuale Verteilung angeben, die
sich im Folgemonat nicht ändert.
Das heißt ja, dass ich Q x X = X habe, oder?

Genau!

Dann komme ich ja zum LGS:
I -0,2x1 + 0,1x2 + 0,2x4 =0
II -0,1x2 + 0,4x4 =0
III 0,2x1 - 0,3x3 = 0
IV 0,3x3 - 0,6x4 = 0

Richtig!

x1 + x2 + x3 = 1

Hier ist Dir das x4 verloren gegangen.

Ab da komme ich nicht weiter, da müsste es dann doch unendlich
viele Lösungen geben?!

Jawohl!

Für das System Deiner Gleichungen I bis IV sollte es in der Tat unendlich viele Lösungen geben. Das liegt daran, dass Deine obige Gleichung QX=X nicht nur einen einzigen Vektor X als Lösung hat, sondern auch alle Vielfachen dieses Vektors.

Das macht aber nichts, denn Du weißt ja zusätzlich, dass Du unter allen Lösungen x1, x2, x3, x4 genau die eine benötigst, für die x1+x2+x3+x4 = 1 gilt.

Rechentechnisch kannst Du also z. B. Dein System der vier Gleichungen mit dem Gaußverfahren lösen, bis Du auf Ergebnisse der Art x1 = …+…x4 und x2 = …+…x4 und x3 = …+…x4 kommst. Hier stehen die Pünktchen für Zahlen, die Du bei der Rechnung herausbekommst.

Dann schreibst Du damit x1+x2+x3+x4=1 auf und bestimmst x4.

Vielen Dank für die Hilfe

Viel Erfolg noch!

The Nameless

#3

Hallo Lena,

Das heißt ja, dass ich Q x X = X habe, oder?

ja, aber bitte vermeide möglichst, den Buchstaben „x“ als Multiplikationszeichen zu missbrauchen. Wenn Du dann auch noch das große „X“ verwendest führt das zu leicht zu Verwirrungen. Mit · bekommst Du hier einen richtig schönen Malpunkt: „Q · x = x“ ins Texteingabefenster getippt wird im Artikel zu Q · x = x.

Dann komme ich ja zum LGS:
I -0,2x1 + 0,1x2 + 0,2x4 =0
II -0,1x2 + 0,4x4 =0
III 0,2x1 - 0,3x3 = 0
IV 0,3x3 - 0,6x4 = 0
x1 + x2 + x3 = 1

Richtig, wobei die letzte Zeile x1 + x2 + x3 + x4 = 1 lauten muss.

Ab da komme ich nicht weiter, da müsste es dann doch unendlich
viele Lösungen geben?!

Nein. Unendlich viele Lösungen gibt es für das Gleichungssystem

I -0,2x1 + 0,1x2 + 0,2x4 =0
II -0,1x2 + 0,4x4 =0
III 0,2x1 - 0,3x3 = 0
IV 0,3x3 - 0,6x4 = 0

weil diese vier Gleichungen nicht linear unabhängig voneinander sind; genauer: Dieses LGS hat Dimension 4, aber sein Rang ist nur 3, also Eins weniger als die Anzahl der Variablen. Deshalb enthält die Lösung einen Parameter λ. Dieser wird durch die Zusatzbedingung x1 + x2 + x3 + x4 schließlich auf einen bestimmten Wert festgelegt. Das „erweiterte“ LGS

-0,2x1 + 0,1x2 + 0,2x4 =0
-0,1x2 + 0,4x4 =0
0,2x1 - 0,3x3 = 0
0,3x3 - 0,6x4 = 0
x1 + x2 + x3 + x4 = 1

hat zwar auch nicht vollen Rang (Dimension = 5, Rang = 4) aber sein Rang ist so groß wie die Anzahl der Variablen und deshalb ist es eindeutig lösbar.

Gruß
Martin

––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Maxima-Script (Ein- und Ausgabe):

(%i1) kill(all)$
numer: true$
ratprint: false$

linsolve([0.8\*a + 0.1\*b + 0.2\*d = a, 
 0.9\*b + 0.4\*d = b,
 0.2\*a + 0.7\*c = c,
 0.3\*c + 0.4\*d = d], 
 [a, b, c, d]);

solve: dependent equations eliminated: (4)
(%o3) [a=3\*%r1,b=4\*%r1,c=2\*%r1,d=%r1]





(%i4) linsolve([0.8\*a + 0.1\*b + 0.2\*d = a, 
 0.9\*b + 0.4\*d = b,
 0.2\*a + 0.7\*c = c,
 0.3\*c + 0.4\*d = d, 
 a + b + c + d = 1],
 [a, b, c, d]);

solve: dependent equations eliminated: (4)
(%o4) [a=0.3,b=0.4,c=0.2,d=0.1]

Maxima ist ein freies Computer-Algebra-System:
http://de.wikipedia.org/wiki/Maxima_%28Computeralgeb…