Hallo!
auch wenn der Kühlschrank zu Mietsache gehört, begründet dies
keinen Anspruch des Mieters auf einen kostenlosen Austausch.
Allerdings ist der Vermieter zur Instandhaltung verpflichten und muss ein defektes Gerät austauschen - der Dreh-, Knack- und Angelpunkt wird also die Frage sein, ab welchem Zustand ein Gerät nicht mehr gebrauchsfähig ist. Daß es sich um ein Modell handelt, das nach dem Stand der Technik überholt ist, dürfte da nicht ausreichen - obwohl es natürlich gerade in Mietrechtsfragen immer wieder überraschende BGH-Entscheidungen gibt. Wenn das Gerät allerdings defekt ist - weil z.B. der Temperaturregler streikt - sieht die Sache anders aus. Allerdings könnte der Vermieter den Regler dann auch einfach reparieren lassen statt einen neuen zu kaufen, vermute ich.
In der Ausgangsituation scheint der Vermieter ja nicht unwillig zu sein, das Gerät auszutauschen, es geht dem Mieter bloß nicht schnell genug. Da der alte Kühlschrank aber noch funktioniert, ist der Austausch mE aber auch nicht wirklich zeitkritisch - nach 13 Jahren kommt es auf vier Wochen hin oder her auch nicht mehr an. Aber das ist keine rechtliche, sondern eine pragmatische Sichtweise.
Gruß,
Max