Hallo allerseits,
wir sollen beweisen, dass die Potenzmenge der natürlichen Zahlen P(N) überabzählbar ist. Habe in einem Buch einen Beweis gefunden, aber der ist 2 Seiten lang.
Geht es irgendwie eleganter?
danke & gruß,
Christoph
Auch hallo.
Habe in einem Buch einen Beweis
gefunden, aber der ist 2 Seiten lang.
Geht es irgendwie eleganter?
Ich kenne einen, der ist 3 Seiten breit.
Wie sieht der gefundene Beweis aus und was genau findest Du daran unelegant?
mfg
Ralf
Hallo
wir sollen beweisen, dass die Potenzmenge der natürlichen
Zahlen P(N) überabzählbar ist. Habe in einem Buch einen Beweis
gefunden, aber der ist 2 Seiten lang.
Geht es irgendwie eleganter?
Es geht tatsächlich eleganter. Man kann allgemein zeigen, dass es für keine Menge X eine Bijektion von X auf P(X) gibt.
Sei zum Beweis f:X->:stuck_out_tongue_winking_eye:(X) eine beliebige Abbildung. Wir wollen zeigen, dass f nicht surjektiv sein kann. Dazu betrachten wir die Menge M:={x aus X: x ist nicht Element von f(x)}. Man überlege sich, dass diese Definition Sinn macht. Annahme M sei im Bild von f. Dann existiert ein x mit f(x)=M. Dann gilt:
x in f(x) genau dann, wenn x in M ( denn f(X)=M)
genau dann, wenn x nicht in f(x) (Definition von M).
Wir haben also x in f(x) genau dann wenn x nicht in f(x).
Das ist ein Widerspruch, also muss unsere Annahme, dass M im Bild von f ist, falsch sein und somit kann f nicht surjektiv und damit insbesondere nicht bijektiv sein.
Eine kleine Anmerkung: der Beweis ist kurz und elegant, aber für viele ungeübte (und einige wenige geübte) Mathematiker schwer verständlich.
Gruss Urs