Hallo,
Wenn ich den Betrag des Bahndrehimpulses eines Atoms
betrachte, ist dieser ja gequantelt mit \sqrt{l/l+1)h} (h quer
eigentlich) und seine Ausrichtung auf der z-Achse entspricht m
h (quer). Wieso spielen die beiden anderen Achsen keine Rolle,
es hängt irgendwie damit zusammen dass deren Erwartungswerte
null sind bzw. das man sich für einen Satz Eigenfunktionen
entscheiden muss, aber ich krieg’s nicht mehr zusammen, warum
die anderen beiden Achsen keine Rolle spielen.
Ich hoffe mal, ich habe deine Frage richtig verstanden, hier mein Erklärungsversuch:
Du hast deinen Drehimpulsoperator \vec{l}, mit den Komponenten l_x, l_y und l_z.
Du kennst beim Atom auch die Eigenfunktionen (nämlich die Kugelflächenfunktionen) zu \vec{l}² aus der Herleitung über ein Zentralpotential wie es beim Atom näherungsweise vorliegt.
Wenn du die l_i in Polarkoordinaten schreibst, dann ist die z-Richtung die „einfachste“, d.h. es bietet sich an, diese als Quantisierungsachse zu nehmen. Man könnte wohl auch eine beliebige andere Achse nehmen, dann wäre aber die Rechnung nicht so schön.
Das war jetzt etwas ausgeholt, nun zu der Frage. Man kann sich anschauen, welche Operatoren vertauschen. Dann stellt man fest, dass \vec{l}² mit jeder Einzelkomponente l_i des Drehimpulses vertauscht, diese aber nicht untereinander. Das wiederum heißt, dass du l² und z.B. l_z gleichzeitig messen kannst, die anderen beiden dann aber nicht.
Schau dir mal hier das Bild auf S.29 des PDFs an:
http://amo.physik.hu-berlin.de/mater/qp_SS07/Quanten…
Du hast die Quantisierungsachse und die „Gesamtlänge“ festgelegt. Dann weißt du, dass die anderen beiden Komponenten auf einem Kegel liegen müssen, da die z-Quantisierung und die Länge des Gesamtvektors vorgegeben ist.
Ich hoffe, es war das, was du wissen wolltest.
Gruß
Kati
