Physik
Von: Anonym (abgemeldet), 4.1.2004 17:49 Uhr
Hallo Jungs!

Also was ich mich immer schon gefragt habe:

Wie kann man sich "hoch 1/2" vorstellen.

Ich meine x^2 ist ja x*x oder x^3 ist x*x*x u.s.w. . Wie aber sieht x^1/2 aus. Das es Wurzel aus x ist, weiß ich auch. Aber wie kann ich es auf x*x zurückführen, oder geht das nicht?



  1. Antwort von Martin 2
    Re: 'hoch 2' und 'hoch 1/2'
    Hallo energizer, Wie kann man sich "hoch 1/2" vorstellen.
    auf der "a*a*a*a*...*a"-Schiene kannst Du Dir nur Potenzen mit ganzzahligen Exponenten vorstellen. a^4 ist gleich a*a*a*a und a^(-4) ist gleich 1/a^4 und a^0 ist gleich 1. Sobald jedoch ein nicht-ganzzahliger Exponenten vorliegt, wie z. B. 3/5, dann funktioniert das schlicht und ergreifend nicht mehr. Es ist also unmöglich, sich ein "a*a*a*a..."-Vielfachprodukt zusammenzubasteln, das den Wert a^(3/5) oder a^(1/2) annimmt.

    Das bedeutet jedoch, daß die Potenz-Definition

    "a^n := a*a*a* ... [n maliges Vorhandensein von a] ... *a"

    für beliebige Exponenten, d. h. auch nicht-ganzzahlige, unzureichend ist. Für "a^r" (a reell > 0, r reell beliebig) ist also eine allgemeinere Definition notwendig. Die gibt es und sie lautet:

    a^r := exp(r*ln(a))

    wobei exp(x) = e^x ("Exponentialfunktion")

    Für alle ganzzahligen r=n ist tatsächlich e^(n*ln(a)) gleich groß wie
    a*a*a* ... [n maliges Vorhandensein von a] ... *a. Das ist natürlich kein Zufall, sondern liegt in den Definitionen der Funktionen exp und ln ("natürlicher Logarithmus") begründet.

    Wenn Du auf Deinem Taschenrechner [8] [^] [0.3]" tippst, dann rechnet er also exp(0.3*ln(8)). Die Funktionen exp und ln führt er dabei auf sogenannte Potenzreihen zurück. Die Reihe für "exp(x)" lautet

    exp(x) = 1 + x/(1) + x^2/(1*2) + x^3/(1*2*3) + x^4/(1*2*3*4) + ...

    und für ln gibt es auch eine. Unter bestimmten Voraussetzungen, die man mit speziellen Tricks erreichen kann, braucht man nur wenige Glieder einer solchen Reihe zu berechnen, um das Ergebnis mit ausreichender Genauigkeit zu haben. Was aber noch besser ist: Bei den Reihen muß man stets nur x-Potenzen mit natürlichen Exponenten (1, 2, 3, 4...) berechnen, und das kann der Taschenrechner dann gemäß "x*x*x*...*x" tun.

    Ich hoffe, ich konnte Dir helfen.

    Mit freundlichem Gruß
    Martin
    1 Kommentare
    • von Anonym (abgemeldet) 0
      Re^2: 'hoch 2' und 'hoch 1/2'
      auf der "a*a*a*a*...*a"-Schiene kannst Du Dir nur Potenzen mit
      ganzzahligen Exponenten vorstellen. a^4 ist gleich
      a*a*a*a und a^(-4) ist gleich 1/a^4 und a^0 ist gleich 1.
      Sobald jedoch ein nicht-ganzzahliger Exponenten
      vorliegt, wie z. B. 3/5, dann funktioniert das schlicht und
      ergreifend nicht mehr. Es ist also unmöglich, sich ein
      "a*a*a*a..."-Vielfachprodukt zusammenzubasteln, das den Wert
      a^(3/5) oder a^(1/2) annimmt.
      So ähnlich hat es unser Mathematik-Dozent mir heute auch erklärt.

      Danke
  2. Antwort von genumi 0
    Re: 'hoch 2' und 'hoch 1/2'
    Hi.. Wie kann man sich "hoch 1/2" vorstellen.
    Ich meine x^2 ist ja x*x oder x^3 ist x*x*x u.s.w. . Wie aber
    sieht x^1/2 aus. Das es Wurzel aus x ist, weiß ich auch. Aber
    wie kann ich es auf x*x zurückführen, oder geht das nicht?
    Vielleicht hilft Dir das:

    a x * a x = a ( x + x )

    a 1/2 = wurzel ( a ) ist also die logische Fortführung der Rechenregeln für Potenzen.

    genumi
    4 Kommentare
    • von Anonym (abgemeldet) 2
      Re^2: 'hoch 2' und 'hoch 1/2'
      Zunächst erstmal, ihr Lieben: x^x^x ist nicht x^[x^2], auch nicht (x^x)^x, was dasselbe sain tut, auch nicht x^[2x], sondern x^x^x = x^(x^x).
      Zum Beispiel 3^3^3 = 3^[3^3] = 3^27, nach Verainberung der Mathemathen jenfalls.
      Denn zB (2^3)^4 = das gleiche wie 2^[3*4] = 2^12

      zum Zweiten:
      Du wirst einstimmen, daß, wenn x^3 = 64 = 2^6 ist, daß dann daraus folgt, daß x = 2^2 ist oder? Mathematisch: (64)^[1/3] = (2^6)^[1/3] = 2^[6/3] = 2^2 = 4.
      Oder auch 64^[173] = (8*8*8)^[1/3] = 8^1 = 8.
      Oder eben, an deinem Baispiel: Wrz(9) = 9^[1/2] = (3^2)^[1/2] = 3.

      Das ist übergens der "glaiche Effekt" wie bai den negatiefen Hochzahlen:

      9/3 = 3^2/3^1 = 3^[2-1] = 3^1 = 3, und natürlich:
      3^1/3^2 = 3/9 = 3^1/3^2 = 3^[1-2] = 3^[-1]

      Zum dritten: das ist ein Problem, wo wirklich man zuwenig, nämlich normal garnicht drunter vordenkt! Und denn wundern wir uns, daß Nichtmathemänner nurnoch Bahnhof verstehen und aussteigen!
      LaichtGewicht, Gil
    • von genumi 0
      Re^3: 'hoch 2' und 'hoch 1/2'
      Ich grüße Dich..

      Sagmal, wieviele Namen brauchst Du noch? Naja, mir soll's egal sein. Zunächst erstmal, ihr Lieben: x^x^x ist nicht x^[x^2], auch
      nicht (x^x)^x, was dasselbe sain tut, auch nicht x^[2x],
      sondern x^x^x = x^(x^x).
      nach Verainberung der Mathemathen jenfalls.
      Tatsächlich? Das hatte ich anders in Erinnerung. Oder auch 64^[173] = (8*8*8)^[1/3] = 8^1 = 8.
      Ähm...

      genumi
    • von Anonym (abgemeldet) 1
      'hoch 2' und 'hoch 1/2'
      Ich grüße Dich..
      So du Ai... Tatsächlich? Das hatte ich anders in Erinnerung.
      Hast du das denn überhaupt in Erinnerung?
      Mir selbst hatte ich früher nie Gedanken darüber
      gemacht.
      In der "höheren Mathematik" nennt man dies "Phänomen"
      übergens
      "Hyperpowers" oder "iterierte Potenzen".
      Kookel doch mal! Oder auch 64^[173] = (8*8*8)^[1/3] = 8^1 = 8.
      Pardon, hatte die shift Tast zu früh losgelassen!
      Natürlich 64^[1/3] = (8*8*8)^[1/3] ähem, und nicht
      richtig nachgeprüft, (4*4*4)^[1/3]
      = 4^1 = 4.
      Gut, dassu badist! Ähm...
      Nugehi....
      Batschi, moinmoin, manni
    • von genumi 0
      Re: 'hoch 2' und 'hoch 1/2'
      Ich grüße Dich.. So du Ai...
      ?? Tatsächlich? Das hatte ich anders in Erinnerung.
      Hast du das denn überhaupt in Erinnerung?
      Mir selbst hatte ich früher nie Gedanken darüber
      gemacht.
      Dochdoch! Aber leider eben falsch, denn Du hast Recht. Mein Freund Bronstein wollte sich nicht so genau äußern, gewöhnlich zuverlässige Quellen in Internet aber bestätigen Dich ;-)

      genumi