Hallo energizer,
Wie kann man sich „hoch 1/2“ vorstellen.
auf der „a*a*a*a*…*a“-Schiene kannst Du Dir nur Potenzen mit ganzzahligen Exponenten vorstellen. a^4 ist gleich a*a*a*a und a^(-4) ist gleich 1/a^4 und a^0 ist gleich 1. Sobald jedoch ein nicht-ganzzahliger Exponenten vorliegt, wie z. B. 3/5, dann funktioniert das schlicht und ergreifend nicht mehr. Es ist also unmöglich, sich ein „a*a*a*a…“-Vielfachprodukt zusammenzubasteln, das den Wert a^(3/5) oder a^(1/2) annimmt.
Das bedeutet jedoch, daß die Potenz-Definition
„a^n := a*a*a* … [n maliges Vorhandensein von a] … *a“
für beliebige Exponenten, d. h. auch nicht-ganzzahlige, unzureichend ist. Für „a^r“ (a reell > 0, r reell beliebig) ist also eine allgemeinere Definition notwendig. Die gibt es und sie lautet:
a^r := exp(r*ln(a))
wobei exp(x) = e^x („Exponentialfunktion“)
Für alle ganzzahligen r=n ist tatsächlich e^(n*ln(a)) gleich groß wie
a*a*a* … [n maliges Vorhandensein von a] … *a. Das ist natürlich kein Zufall, sondern liegt in den Definitionen der Funktionen exp und ln („natürlicher Logarithmus“) begründet.
Wenn Du auf Deinem Taschenrechner [8] [^] [0.3]" tippst, dann rechnet er also exp(0.3*ln(8)). Die Funktionen exp und ln führt er dabei auf sogenannte Potenzreihen zurück. Die Reihe für „exp(x)“ lautet
exp(x) = 1 + x/(1) + x^2/(1*2) + x^3/(1*2*3) + x^4/(1*2*3*4) + …
und für ln gibt es auch eine. Unter bestimmten Voraussetzungen, die man mit speziellen Tricks erreichen kann, braucht man nur wenige Glieder einer solchen Reihe zu berechnen, um das Ergebnis mit ausreichender Genauigkeit zu haben. Was aber noch besser ist: Bei den Reihen muß man stets nur x-Potenzen mit natürlichen Exponenten (1, 2, 3, 4…) berechnen, und das kann der Taschenrechner dann gemäß „x*x*x*…*x“ tun.
Ich hoffe, ich konnte Dir helfen.
Mit freundlichem Gruß
Martin