Integral auflösen, Flächenberechnung

Wissenschaft Physik
#1

Mahlzeit,

ich beiße mir schon den ganzen Tag an einer „Aufgabe“ die Zähne aus:

  1. Problem: Ich möchte die Fläche eines Gebildes berechnen, das gegeben ist durch polare Koordinaten, also r(phi). Zur besseren Vorstellung: das „Ding“ ist annähernd oval und geschlossen(im kartesischen System). Wenn ich mir aus dem Verlauf von r(phi) ein Polynom bilde, muss dies mindestens 15. Grades sein um eine gerade noch zu tolerierende maximale Abweichung vom Originalverlauf zu erhalten. Ich habe versucht diese Funktion nach Leibniz´s Sektorformel zu integrieren, es kommt aber nur Unsinn raus.
    Gibt es eine Möglichkeit (ein Programm, Verfahren, Vorgehensweise), das anhand der vorliegenden Polarkoordinaten den Flächeninhalt

und

(2. Problem:smile: den Verlauf des flächeninhalts abhängig vom Winkel phi berechnen kann?!

Für eine fachkundige Anwort wäre ich sehr dankbar…

gruß
michael

#2

Hallo Michael,
das Flächenelement in r-phi-Koord. ist:
dA = r * dr * dphi

Die Gesamtfläche ergibt sich dann als doppeletes Integral. Wenn du den Außenradiusr (r_a(phi) ) hast und r von 0 bis r_a integrierst, dann kommt 1/2 * r_a^2 * dphi raus (was nichts anderes ist als die Fläche des „dreickigen“ Segemnts : 1/2 * r_a * (r_a*dphi) ). Das musst du nun noch über phi von null bis 2*pi iintegrieren:
A= Int (0…2pi) (1/2 r_a(phi)^2 * dphi.
Wenn bei dir r_a(phi) ein Polynom 15 Grades ist, dann integrierst eben das Quadrat (30. Grades) davon …

Sinnvoller wäre es, statt eines Polynoms eine (Fourier-) Reihe aus sin(n*phi) uns cos(n*phi) zu nehmen, dann ist das Ding automatisch periodisch und dein Kurvenzug geschlossen.
Gruß Kurt

#3

Hallo Kurt,

erstmal vielen Dank für deine Antwort!
Allerdings habe ich dazu noch zwei Fragen:

  1. Wie erhalte ich aus meinen samples eine fourier reihe und 2. gibt´s keine Möglichkeit direkt anhand der Koordinaten (ohne Umwandlung in eine Funktion/reihe) den Flächenverlauf zu errechnen?

Isr es z.B. falsch, wenn ich mit einem „Analyse“-Programm (Matlab, Uniplot, …) den quadrierten Verlauf ra(phi) - also jeden sample mit sich selber multipl. - dann integriere und durch 2 teile?

gruß

michael

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#4

Hallo Michael.

  1. Problem: Ich möchte die Fläche eines Gebildes berechnen,
    das gegeben ist durch polare Koordinaten, also r(phi).

In welcher Form hast Du das „Ding“ denn vorliegen? Wenn Du keinen analytischen Ausdruck hast, sondern die Umrandung zB nur als Datenpunkte einer Messreihe vorliegen, dann kannst Du den folgenden Trick anwenden:

Zeichne die Flaeche genau auf, schneide sie aus und wiege sie auf einer Feinwaage. Wenn Du die Waage anhand einer bekannten Flaeche (Quadrat) des gleichen Papiers kalibrierst, bekommst Du die Flaeche Deines „Dings“ in etwa mit der Genauigkeit Deiner Messung heraus.

Gruss,
klaus

#5

Hallo Michael!

  1. Wie erhalte ich aus meinen samples eine fourier reihe und

Dein Analyse-programm kann bestimmt entweder eine FFT oder es kann eine Kurve fitten. Dein Polynom 15. Grades hast du ja auch irgendwie bestimmt. Fit würde ich aber vorziehen. Im Prinzip ist das die Lsg. eines lin. Gleichungssystems, aber die meisten einschlägigen Programme können fitten, ohne dass der User sich mit Einzelheiten rumschlagen muss.

  1. gibt´s keine Möglichkeit direkt anhand der Koordinaten
    (ohne Umwandlung in eine Funktion/reihe) den Flächenverlauf zu
    errechnen?

Isr es z.B. falsch, wenn ich mit einem „Analyse“-Programm
(Matlab, Uniplot, …) den quadrierten Verlauf ra(phi) - also
jeden sample mit sich selber multipl. - dann integriere und
durch 2 teile?

Klar, warum nicht, das nennt man dan eben numerische Integration. Das einfachste Verf. dazu ist, einfach äquidistante die Funktionswerte zu addieren. Wenn man genügend Samples hat ist das ok. Aber nicht vergessen: Das Integral bekommst du aus der Summer mal delta_phi ! Wenn du also z.B. 360 Punkte für 360 Grad hast, dann musst du die Summe(1/2 * r_a^2) noch mit 2*pi/360 multiplizieren!

Gruß Kurt

PS: Kannst Du mal verraten, wozu das Ganze gut ist ?

#6

Hallo Kurt,

fitten ist kein Problem an sich, aber ein polynom solch hohen grades ist ziemlich unpraktisch zu handhaben - insbesondere wenn es noch mal integriert wird. Stichwort Nachkommastellen der errechneten Koeffizienten…

Also, wenn ich eine fft mit meinen werten durchführe, erhalte ich komplexe werte returniert. Was sollte ich sinnfälligerweise damit anstellen? Am Ende möchte ich eine Funktion haben, die mir in Abhängigkeit von phi die „überstrichene“ Fläche ausgibt.

Wie gesagt, mit dem Polynom ergeben sich große Ungenauigkeiten…
Wozu das ganze? Am Anfang habe ich mit meinen Kollegen über eine ähnliche Problemstellung diskutiert - an sich recht unwichtig - jetzt nervt´s mich einfach, dass ich anscheinend nicht im Stande bin, das zu lösen. Hätte ich im Studium in Mathe doch besser aufgepasst…

Also, wenn du mir bzgl. Fourier-Transformation noch etwas helfen könntest, wäre ich sehr dankbar…

Gruß

Michael

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#7

Hallo Michael!

fitten ist kein Problem an sich, aber ein polynom solch hohen
grades ist ziemlich unpraktisch zu handhaben - insbesondere
wenn es noch mal integriert wird. Stichwort Nachkommastellen
der errechneten Koeffizienten…

Ja, ja, Polynome sind so ziemlich das ungeeignetste für sowas, hauen auch immer nach ± unendl. ab etc. Deshalb hab ich ja sin / cos vorgeschlagen. Kanns’t ja mal sowas fitten („x=phi“):
f(x) = a0 + a1 * cos(x) + b1 * sin(x) + a2 * cos(2*x) + b2 * sin(2*x) …

Also, wenn ich eine fft mit meinen werten durchführe, erhalte
ich komplexe werte returniert. Was sollte ich
sinnfälligerweise damit anstellen? Am Ende möchte ich eine
Funktion haben, die mir in Abhängigkeit von phi die
„überstrichene“ Fläche ausgibt.

Schlaue FFT-Programme rechnen eben komplex. Das ist dann der „Doppelpack“ füs sin und cos. Da müsstest Du wohl mal ein paar Seiten zu Fouriertransf. und FFT im Mathe- oder Signalverarbeitungs-Buch nachlesen. Kurz gesagt hat der Realteil was mit dem cos, der Imaginärteil mit dem sin zu tun.

Ein Fit mit der oben angedeuteten Reihe ist auch nicht schlechter als eine FFT, bei der du dann ohnehin die hohen Frequenzen wieder abschneiden würdest (damit die Funktion glatter wird).

Wie gesagt, mit dem Polynom ergeben sich große
Ungenauigkeiten…
Wozu das ganze? Am Anfang habe ich mit meinen Kollegen über
eine ähnliche Problemstellung diskutiert - an sich recht
unwichtig - jetzt nervt´s mich einfach, dass ich anscheinend
nicht im Stande bin, das zu lösen. Hätte ich im Studium in
Mathe doch besser aufgepasst…

Ja, ja … Aber man kann ja immer noch was dazu lernen …
Klappt denn jetzt die numerische Integration ?

Hätte mich trotzdem interessiert, wozu das dann technisch verwendet werden könnte …

Gruß Kurt

#8

Hallo Michael!

fitten ist kein Problem an sich, aber ein polynom solch hohen
grades ist ziemlich unpraktisch zu handhaben - insbesondere
wenn es noch mal integriert wird. Stichwort Nachkommastellen
der errechneten Koeffizienten…

Du koenntest ueberlegen, statt ein Polynom solch hohen Grades ein Spline anzufitten. Das ist eine Funktion nur dritten Grades, die stueckweise definiert ist, so dass die Anschlussstellen stetig differenzierbar sind. Manche Programme haben das als Option. Die anschauliche Bedeutung eines Splines ist die derjenigen Kurve minimaler Kruemmung, die alle Punkte genau trifft. Weiteres erklaert Wikipedia:

http://en.wikipedia.org/wiki/Spline_%28mathematics%29

Gruss,
klaus