Keilriemenlänge

Wissenschaft Physik
#1

Hallo, ich habe folgendes Problem:

ich möchte die genaue Länge eines (idealen, also als strich gezeichneten) Keilriemen berechnen.
Gegeben sind zwei unterschiedlich große Scheiben mit ihrem Radius, sowie ihr Achsabstand (Abstand zwischen den Mittelpunkten).
Mich interessiert die Länge einer Schnur, die ich über die zwei Kreise spannen kann!
Ich habe auch eine Skizze, die mein Problem veranschaulicht, aber leider keine Möglichkeit gefunden, sie hier irgendwo hoch zu laden.
Ich wäre schon für einen Ansatz dankbar.
Richi

#2

Hallo!

Ich wäre schon für einen Ansatz dankbar.

r1, r2: Radien der beiden Räder
x: Abstand der beiden Räder (Mittelpunkte)
alpha: Winkel zwischen dem gespannten Seil und der Symmetrieachse.
phi1, phi2: Die Winkel auf denen das Seil an den Rädern anliegt.

Es gilt:

alpha = (pi - ph1)/2 = (phi2 - pi)/2

(wenn phi2>phi1)

Die Seilabschnitte, die anliegen, haben eine Länge von
b1 = r1 * phi1
b2 = r2 * phi2

Die gespannten Seilabschnitte haben die Länge
s = x / sin alpha

Ach ja, alpha kennen wir noch nicht:

tan alpha = (r2 - r1)/x

Die gesamte Seillänge beträgt dann

l = b1 + b2 + 2s

(alle Winkel im Bogenmaß)

Michael

#3

Hallo Richi,

ich möchte die genaue Länge eines (idealen, also als strich
gezeichneten) Keilriemen berechnen.
Gegeben sind zwei unterschiedlich große Scheiben mit ihrem
Radius, sowie ihr Achsabstand (Abstand zwischen den
Mittelpunkten).

Sei
l…Achsabstand
R…Radius der grossen Scheibe
r…Radius der kleinen Scheibe

Dann ergibt sich die Gesamtlaenge zu

 R - r
L = 2 \* ( R \* pi - (R - r) \* arccos( ----- ) + sqrt( l^2 - (R - r)^2 )
 l

Dies setzt sich zusammen aus 2 geraden Teilen zu je

sqrt( l^2 - (R - r)^2 )

einem Teil, welcher an der grossen Scheibe anliegt

 R - r
2 \* R \* (pi - arccos( ----- ))
 l

und einem Teil, welcher an der kleinen Scheibe liegt

 R - r
2 \* r \* arccos( ----- )
 l

HTH,
Puersti

#4

Hallo Michael,

r1, r2: Radien der beiden Räder
x: Abstand der beiden Räder (Mittelpunkte)
alpha: Winkel zwischen dem gespannten Seil und der
Symmetrieachse.
phi1, phi2: Die Winkel auf denen das Seil an den Rädern
anliegt.

Das Seil liegt idealerweise tangential an.

Es gilt:

alpha = (pi - ph1)/2 = (phi2 - pi)/2

???

(wenn phi2>phi1)

Die Seilabschnitte, die anliegen, haben eine Länge von
b1 = r1 * phi1
b2 = r2 * phi2

Die gespannten Seilabschnitte haben die Länge
s = x / sin alpha

Sorry, aber gilt nicht eher
s = x * cos( alpha ) ?
Schliesslich ist x die Hypothenuse und s die Ankathete.

Ach ja, alpha kennen wir noch nicht:

tan alpha = (r2 - r1)/x

Ich wuerde eher

sin alpha = (r2 - r1)/x

nehmen.

Puersti

#5

Sei:

d: Abstand der Scheiben (Mittelpunkte)
r1: Radius kleine Scheibe
r2: Radius große Scheibe

Die Länge L des Keilriemens ist:

L = π(r1 + r2) + 2φ(r2 - r1) + 2√(d² - (r2 - r1)²)

mit sinφ = (r2-r1)/d

Gruß
Oliver

#6

Hallo Puersti!

phi1, phi2: Die Winkel auf denen das Seil an den Rädern
anliegt.

Das Seil liegt idealerweise tangential an.

Klar, aber ich habe etwas anderes gemeint. Ich habe mich offensichtlich sehr unklar ausgedrückt:

phi1 und phi 2 sind die Winkel der Kreissegmente an denen das Seil anliegt. Wenn beide Räder gleich groß sind, gilt z. B. phi1 = phi2 = pi.

Es gilt:

alpha = (pi - ph1)/2 = (phi2 - pi)/2

???

Wie gesagt: Wenn das gespannte Seil parallel zur Symmetrieachse läuft (r1=r2), beträgt phi1 = phi2 = pi. Ist das Seil um alpha geneigt, so wird phi1 entsprechend kleiner, phi2 entsprechend größer. Da das für beide Seiten symmetrisch gilt, ist der Unterschied zwischen einem Halbkreis (pi) und dem Kreissegment (phi1 bzw phi2) doppelt so groß wie alpha.

Die gespannten Seilabschnitte haben die Länge
s = x / sin alpha

Sorry, aber gilt nicht eher
s = x * cos( alpha ) ?
Schliesslich ist x die Hypothenuse und s die Ankathete.

Hast recht. (Ich hatte an ein anderes Dreieck gedacht, aber da lag ich falsch…)

Ach ja, alpha kennen wir noch nicht:

tan alpha = (r2 - r1)/x

Ich wuerde eher

sin alpha = (r2 - r1)/x

Auch hier hast Du recht. Gleicher Fehler wie oben.

Michael

#7

Damit ich nicht diese Baustelle hinterlasse:

L = (pi -2alpha)r1 + (pi + 2alpha)r2 + 2 x cos alpha

mit sin alpha = (r2 - r1)/x

L: Gesamtlänge
r1, r2: Radien der Räder
x: Achsenabstand der Räder
alpha: Neigung der geraden Seilstrecke gegenüber der Symmetrieachse

„Wie der geneigte Leser leicht zeigen kann“ ist diese Lösung mit Olivers Lösung vollkommen identisch (abgesehen von der Nomenklatur und dem Pythagoras statt des Kosinusses).

(Nochmal Sorry für den kleinen Verrechner meinerseits).

Michael

#8

„Wie der geneigte Leser leicht zeigen kann“ ist diese Lösung
mit Olivers Lösung vollkommen identisch.

Und wenn der geneigte Leser gerade dabei ist, kann er mit Hilfe von

arccos α = π/2 - arcsin α

auch gleich zeigen, dass unsere Lösung wiederum identisch mit der von Pürsti ist. Womit man dieses Problem auf den „erledigt“-Stapel legen kann.

Gruß
Oliver