Warum ist es wichtig, immer grössere Primzahlen zu finden?
Warum ist es wichtig, immer grössere Primzahlen zu finden?
Weil es sie gibt!
*Die Antwort ist so gehalten, wie die Frage sich darstellte. Mir wäre eine freundliche Anrede, eine etwas detailliertere Frage lieber gewesen. Die hätte ich dann auch ausführlicher beantwortet.
Hallo.
Weil diese z.B. in der Kryptograhie Verwendung finden (RSA u.a.). Siehe auch http://www.primzahlen.de/. Da die Codeknacker technisch auch ständig aufrüsten muss die Seite der Verschlüsseler hier halt versuchen schneller zu sein 
Warum ist es wichtig, immer grössere Primzahlen zu finden?
Ausserdem haben Primzahlen bemerkenswerte Eigenschaften, die sich auch in anderen Disziplinen nutzen lassen (können).
HTH
mfg M.L.
Ich wollte mich nur kurz fassen…
Na dann, Entschuldigung bitte und ein fröhliches Hallo alle miteinander! 
Mir ging es darum zu verstehen, welchen Zwecken immer grössere Primzahlen dienen, warum es so schwierig ist, sie zu finden und was das besonders Eigentümliche/Verblüffende an Ihnen ist.
So long und vielen Dank im Vorraus für kompetente Antworten,
Chrizz
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Hallo Fragewurm,
Warum ist es wichtig, immer grössere Primzahlen zu finden?
Kryptographie wurde ja schon angesprochen.
Bei den Eigenschaften ist nur klar, dass eine Prinzahl ungerade sein muss, da jede gerade Zahl durch 2 teilbar ist.
Was immer noch nicht bewiesen ist, ist ob es irgendeine Regel gibt, mit der man Prinzahlen berechnen kann, ob sie nach irgendeiner Regel verteilt sind und ob es eine grösste Primzahl gibt.
MfG Peter(TOO)
Hallo Peter,
Bei den Eigenschaften ist nur klar, dass eine Prinzahl
ungerade sein muss, da jede gerade Zahl durch 2 teilbar ist.
diese Aussage ist richtig, aber im Grunde gehaltlos, weil „[nicht] durch 2 teilbar“ bloß die Definition von „[un-]gerade“ ist. Genausogut könnte man sagen, daß alle Primzahlen ungerade, unhumpfig sowie unwabbig sein müssen, wenn vorher definiert wurde, daß eine Zahl humpfig heißen soll, wenn sie durch 9 teilbar ist, und wabbig, wenn sie durch 49 teilbar ist.
Ob eine Zahl humpfig ist, kann man übrigens „direkt sehen“, wenn sie z. B. im 3er-System notiert ist, und ob eine Zahl wabbig ist, kann man sofort erkennen, wenn sie z. B. im 7er-System dargestellt ist (das Kriterium ist in beiden Fällen, daß die Zahl mit „00“ enden muß). Dafür kann man im 7er-System NICHT „direkt sehen“, ob eine Zahl gerade ist. Möchte man sich bei im Zehnersystem notierten Zahlen auf die Betrachtung der letzten Ziffer beschränken, dann gilt, daß eine Zahl keine Primzahl sein kann, wenn die letzte Ziffer eine „2“, eine „4“, eine „6“, eine „8“, eine „0“ oder eine „5“ ist.
ob sie nach irgendeiner Regel verteilt sind und ob es eine grösste
Primzahl gibt.
Auf die Frage, ob es eine größte Primzahl geben kann, hat bereits Euklid (3. Jht v. Chr.) die Antwort gefunden.
Was die Verteilung der Primzahlen angeht, weiß man immerhin, daß von allen Zahlen unterhalb einer Zahl n etwa n/ln(n) prim sind, wobei sich das „etwa“ asymptotisch versteht, d. h. je größer n ist, umso genauer stimmt’s.
Gruß
Martin
- Es gibt eine Regel, mit der man Primzahlen berechnen kann: Das „Sieb des Eratosthenes“. Diese Regel baut ganz simpel darauf auf, welche Eigenschaft die Primzahlen haben. Man stellt sich zunächst die Folge der natürlichen Zahlen vor: 1, 2, 3, 4, 5, 6, … Die 1 ist per Definition keine Primzahl. Die erste Primzahl ist die 2. Dan streicht man ab der 2 jede zweite Zahl durch und geht zur nächsten Zahl, die nicht durchgestrichen ist. Das ist die 3. Deshalb ist 3 die zweite Primzahl. Dann streicht man ab der 3 jede dritte Zahl durch. Nun geht man wieder zur nächsten Zahl, die noch nicht durchgestrichen ist. Das ist die 5. Deshalb ist 5 die dritte Primzahl. So kann man unendlich weiter machen und erhält der Reihe nach so viele Primzahlen, wie man schaffen kann.
Da es also einen Algorithmus gibt, mit dem der Reihe nach jede Primzahl eindeutig bestimmt werden kann, könnte man auch eine Funktion definieren z. B. E(n)= die n-te Primzahl. Dies wäre mathematisch genauso exakt wie die Potenz-, die Wurzel-, die Logarithmus- oder die Sinusfunktion.
Darauf könnte man eine weitere Regel aufbauen, die mathematisch exakt ist, nämlich das Nachschauen in einer Tabelle, die eine Zuordnung von n und E(n) enthält.Gemeint ist hier bestimmt die Frage, ob es eine Prozedur gibt, die weniger langwierig ist als das Sieb des Eratosthenes, also vielleicht ein Polynom oder irgendeine andere Formel mit der Variablen n, die noch dazu nicht allzu kompliziert aufgebaut ist, und die der Reihe nach alle Primzahlen erzeugt. Es ist nicht prinzipiell ausgeschlossen, daß es eine solche Formel gibt, aber ihre Existenz wäre entweder ein umwerfender Zufall oder sie würde auf Zusammenhängen aufbauen, deren Erkenntnis Aufsehen erregen würde. Wenn man eine endliche Folge von Primzahlen schon kennt, kann man aus dieser Kenntnis ein Polynom n-ten Grades aufstellen, das diese n Primzahlen erzeugt. Mehr als n Primzahlen werden dann aber nur durch Zufall erzeugt.
-
Es gibt Abschätzungen über die Anzahl von Primzahlen in bestimmten Intervallen.
-
Es gibt keine größte Primzahl. Das ist exakt durch indirekten Beweis bewiesen. Gäbe es nämlich eine größte Primzahl N (wir wählen für den Beweis N>2), so könnte man alle Primzahlen bis einschließlich N multiplizieren und zu dem Ergebnis dann 1 addieren. Diese Zahl, nennen wir sie M, wäre durch keine der Primzahlen bis einschließlich N teilbar. M ist größer als N (für N=3 ergibt sich schon M=7). Nach dem Fundamentalsatz der Algebra kann jede natürliche Zahl >1, also auch M, eindeutig in Primfaktoren zerlegt werden. Dies wiederum bedeutet, daß M entweder selbst eine Primzahl ist oder daß die Zahl M das Produkt von mehreren Primzahlen ist, von denen mindestens eine größer ist als N.
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Hallo,
- Es gibt eine Regel, mit der man Primzahlen berechnen kann:
Das „Sieb des Eratosthenes“.
Ist mir bekannt.
Aber es ist ein Testverfahren:
Man nimmt eine Zahl un testet ob sie die Bedingungen erfüllt oder nicht.
… Gemeint ist
hier bestimmt die Frage, ob es eine Prozedur gibt, die weniger
langwierig ist als das Sieb des Eratosthenes, also vielleicht
ein Polynom oder irgendeine andere Formel mit der Variablen n,
die noch dazu nicht allzu kompliziert aufgebaut ist, und die
der Reihe nach alle Primzahlen erzeugt. Es ist nicht
prinzipiell ausgeschlossen, daß es eine solche Formel gibt,
aber ihre Existenz wäre entweder ein umwerfender Zufall oder
sie würde auf Zusammenhängen aufbauen, deren Erkenntnis
Aufsehen erregen würde.
Eben dies meinte ich.
- Es gibt Abschätzungen über die Anzahl von Primzahlen in
bestimmten Intervallen.
Aber eine Schätzung ist nicht eine exakt gemessener/berechneter Wert.
MfG Peter(TOO)
Unter 3) muß es heißen Fundamentalsatz der Arithmetik
Hallo Martin,
Bei den Eigenschaften ist nur klar, dass eine Prinzahl
ungerade sein muss, da jede gerade Zahl durch 2 teilbar ist.diese Aussage ist richtig, aber im Grunde gehaltlos, weil
„[nicht] durch 2 teilbar“ bloß die Definition von
„[un-]gerade“ ist.
einigen wir uns darauf, daß die Eigenschaft ‚ungerade‘ eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung ist?!
Gandalf
Hallo Gandalf,
einigen wir uns darauf, daß die Eigenschaft ‚ungerade‘ eine
notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung ist?!
ja, sofort!
Mich störte die Behauptung, daß „Bei den Eigenschaften nur klar ist, dass eine Primzahl ungerade sein muss“ (Hervorhebung des „nur“ von mir). Das kann man doch so nicht sagen. Weil schließlich genauso klar ist, daß eine Primzahl die Eigenschaft besitzen muß, nicht durch 3 teilbar zu sein, sowie die Eigenschaft, nicht durch 4 teilbar zu sein, und die Eigenschaft, nicht durch 5 teilbar zu sein usw… Aus Peters Aussage schloß ich, daß für ihn der Teiler 2 irgendeine Sonderstellung zu haben scheint, aber ich bin der Meinung, daß diese vollkommen unbegründet ist.
In jedem Fernmeldesatelliten befindet sich sicher mindestens ein Bauteil, das aus Metall ist. Die Aussage „Damit ein Gegenstand ein Fernmeldesatellit sein kann, muß mindestens eines der Bauteile darin aus Metall sein“ ist logisch korrekt. „Mindestens ein Bauteil aus Metall“ ist eine notwendige Voraussetzung für „Gegenstand ist ein Fernmeldesatellit“. Aber ich kann nicht behaupten, daß die einzige Eigenschaft, die man von einem Fernmeldesatelliten kennt, darin besteht, daß mindestens eines seiner Bauteile aus Metall ist.
Mit freundlichem Gruß
Martin
PS: Die Behauptung „Damit eine Zahl eine Primzahl sein kann, muß sie ungerade sein“ ist übrigens auch noch rein sachlich falsch. Schließlich gibt es eine gerade Primzahl (allerdings auch nur eine).