Kombinationsmöglichkeiten

Freizeit & Hobby Rätsel
#1

Lieber Herr Schatz,

um eine statistische Frage aus dem Bereich der Soziopsychologie (zur Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Ähnlichkeiten zwischen Einzelnen innerhalb von Eliten) klären zu können, hat sich für mich die Frage ergeben, auf wieviele Arten man zweimal dreizehn Leute in Zweiergruppen einteilen kann, wenn nur Leute aus Gruppe a mit solchen aus Gruppe b kombiniert werden dürfen.

Ich habe versucht, mir die Sache anschaulich vorzustellen, und mir gesagt:

Eine Schulklasse besteht aus 13 jungen Männern und 13 Mädchen. Es stellt sich heraus, dass sie alle innerhalb ihrer Klasse heiraten.

Auf wieviele verschiedne Arten könnten sie dabei letztlich in Ehepaaren zusammenkommen?

Mich interessiert nicht die Reihenfolge, in der die Paare gebildet werden.

Ich hatte zunächst geglaubt, ich könne rechnen:

13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2,

aber dann ist mir aufgestoßen, dass ich dadurch einen Teil der Leute nicht mit allen des andren Geschlechts zusammenbringe.

Also rate ich jetzt ganz ins Blaue hinein, dass ich das Ergebnis der obigen Rechnung mal zwei nehmen und dann davon vielleicht noch die Zahl der gleichen Kombinationen abziehn muss, die sich so ergeben, und dass diese Zahl vielleicht eins ist.

Können Sie mir hier weiterhelfen?

Mit freundlichem Gruß,

Hans Dunkelberg

#2

Hallo!

N = Anzahl in der Gruppe
==> N (N-1)/2 Möglichkeiten, wenn es auf die Ordnung der Auswahl nicht ankommt.

Viele Grüsse!

Christof

#3

Lieber Herr Schatz!

Haben Sie vielen Dank, dass Sie sich die Mühe gemacht haben, mir zu antworten.

Leider verstehe ich allerdings nicht, was Sie mit „Anzahl in der Gruppe“ meinen.

Beträgt diese Anzahl in unsrem Fall 13?

Übrigens glaube ich jetzt durch Ausprobieren schon selbst herausgefunden zu haben, wie ich die gesuchte Zahl berechnen kann.

Mit zwei Jungen und zwei Mädchen haben sich zwei, mit drei Jungen und drei Mädchen sechs (3x2), mit vier Jungen und vier Mädchen 24 (4x3x2) mögliche Kombinationen von Ehepaaren ergeben.

Für dreizehn Jungen und dreizehn Mädchen muss ich demnach rechnen:

13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2

Wie würden Sie das allgemein formulieren - und es stimmt doch wohl, oder?

Mit freundlichem Gruß,

Hans Dunkelberg

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#4

Hallo!

N = 13. Ja. Ihre Rechnung ist nicht richtig. Mit N=4 bekomen Sie nicht 24, sondern 16 Kombinationen:

Junge 1 heiratet Mädchen 1 = 1-1
1-2
1-3
1-4
2-1
2-2
2-3
2-4
3-1
3-2
3-3
3-4
4-1
4-2
4-3
4-4

Allgemein N^2 oder N*N. Ganz einfach. Wenn ich Ihre Frage jetzt richtig verstanden habe.

VG!

Christof

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#5

Lieber Herr Schatz,

Sie haben meine Frage nicht richtig verstanden.

Ich wollte wissen, auf wieviele verschiedene Arten man die Mädchen und Jungen einer solchen Klasse ALS GANZES miteinander verheiraten kann. Auch wenn es bei vier Jungen und vier Mädchen nur sechzehn mögliche Paare gibt, so gibt es doch etwas mehr Möglichkeiten, die Klasse als Ganzes in vier dieser sechzehn möglichen Paare aufzuteilen.

Bei einer geringen Zahl von Schülern fällt der Unterschied noch nicht so stark auf, aber bei dreizehn Mädchen und dreizehn Jungen erhält man meiner Rechnung nach mehr als sechs Milliarden (13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2) Möglichkeiten.

Ich hoffe nun eben, dass Sie mir sagen können, wie man die Lösung, die ich mittlerweile im Obigen wohl schon gefunden habe, allgemein formulieren kann bzw. auf welchen mathematischen Grundsätzen sie beruht.

Mit freundlichem Gruß,

Hans Dunkelberg

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#6

Ich kopiere Ihnen hier mal her, was ich eben in der gleichen Sache meinem Onkel geschickt habe:

_______________________________

Let`s call the boys and girls Ann, Barbara, Celinda, Dora, Edgar, Frederic, Gustav, and Howard, and the possible couples like this:

Ann/Edgar:

Gold

Ann/Frederic:

Silver

Ann/Gustav:

Bronze

Ann/Howard:

Vanadium

Barbara/Edgar:

Xenon

Barbara/Frederic:

Radium

Barbara/Gustav:

Zirconium

Barbara/Howard:

Manganese

Celinda/Edgar:

Technecium

Celinda/Frederic:

Nitrogen

Celinda/Gustav:

Oxygen

Celinda/Howard:

Iodine

Dora/Edgar:

Ytterbium

Dora/Frederic:

Lead

Dora/Gustav:

Unununium

Dora/Howard:

Palladium

If we now abbreviate the marriages by the initials of their names, we may combine:

G, S, B, V for Ann (with Edgar / Frederic / Gustav / Howard);

X, R, Z, M for Barbara (with Edgar / Frederic / Gustav / Howard);

T, N, O, I for Celinda (with Edgar / Frederic / Gustav / Howard);

Y, L, U, P for Dora (with Edgar / Frederic / Gustav / Howard)

It`s not possible to combine G with S, B, or V, because that would mean Ann was bigamous.

We also can`t combine G with X, T, or Y, because that would mean Edgar was bigamous, and so on.

We may combine:

GROP

GRIU

GZNP

GZIL

GMNU

GMOL

XSOP

XSIU

XBNP

XBIL

XVNU

XVOL

TSZP

TSMU

TBRP

TBML

TVRU

TVZL

YSZI

YSMO

YBRI

YBMN

YVRO

YVZN

Thats a somewhat primitive, but probably reliable way. The solution is 4x3x2, and Youll easily find out that one gets 3x2 with three, and just 2 possibilites with two pairs.

_______________________________

Wie kann man das mathematisch allgemein ausdrücken?

Mit freundlichem Gruß,

Hans Dunkelberg

#7

Lieber Herr Schatz,

Sie haben meine Frage nicht richtig verstanden.

Ich wollte wissen, auf wieviele verschiedene Arten man die
Mädchen und Jungen einer solchen Klasse ALS GANZES miteinander
verheiraten kann. Auch wenn es bei vier Jungen und vier
Mädchen nur sechzehn mögliche Paare gibt, so gibt es doch
etwas mehr Möglichkeiten, die Klasse als Ganzes in vier dieser
sechzehn möglichen Paare aufzuteilen.

Bei einer geringen Zahl von Schülern fällt der Unterschied
noch nicht so stark auf, aber bei dreizehn Mädchen und
dreizehn Jungen erhält man meiner Rechnung nach mehr als sechs
Milliarden (13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2) Möglichkeiten.

Ich hoffe nun eben, dass Sie mir sagen können, wie man die
Lösung, die ich mittlerweile im Obigen wohl schon gefunden
habe, allgemein formulieren kann bzw. auf welchen
mathematischen Grundsätzen sie beruht.

Mit freundlichem Gruß,

Hans Dunkelberg

Ah, sorry! Jetzt hat’s geklingelt. Sie interessieren sich für die Anzahl möglicher Aufteilungen in Paare innerhalb der Klasse. Ja, da haben Sie richtig gerechnet.

Stellen Sie sich vor, es gäbe für die Klasse zwei Reihen numerierter Stühle. Auf den einen sitzen die Jungs, auf den anderen die Mädels. Durch Zuordnung gleicher Sitzplatznummern entstehen die Paare. Durch Vertauschen der Plätze innerhalb einer Reihe erzeugen wir andere Anordnungen. Die Frage ist: Wieviel Vertauschungen (Permutationen) gibt es? Sind es N Jungen, dann ist die Anzahl der Permutationen N-Fakultät. (Die Fakultät ist das Ausrufezeichen, also Anzahl=N!) und berechnet sich als N! = 1x2x3x…xN. Wir müssen nur eine Sitzreihe permutieren, wenn es auf die Reihenfolge innerhalb der Paare nicht ankommt, um alle möglichen Anordnungen zu bekommen. Und damit ist auch das Endergbnis N!.

http://de.wikipedia.org/wiki/Permutation

Viele Grüsse!

C. Schatz

#8

Vielen Dank! Das ist gerade die Art der Darstellung, die ich mir erhofft hatte.

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