Wahrscheinlichkeit beim Kartenspiel

Wissenschaft Physik
#21

Hallo Karl!

Es wird offensichtlich, wenn wir das Problem mal ein bisschen
übersichtlicher gestalten: Es gibt nur zwei Spieler und nur vier Karten.
Zwei der vier Karten sind Karo Asse… …

…Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ich beide Karo-Asse bekomme, beträgt also
P = 1/2 * 1/3 = 1/6.

Da komme ich aber zu einem anderen Ergebnis, wenn ich per
Tabelle vorangehe.
K sei Karo-Ass, wovon es zwei gleichwertige gibt. Die
Fehlkarte (also ungleich K) sei o.

ich | Du
---------±---------
Ko | Ko
KK | oo
oo | KK

Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich
zwei K habe 1/3.

Nein.

Du machst den Fehler, dass Du gleichwertige Karten als identisch wertest. Aber das ist falsch. Für Dich als Spieler sind diese drei Varianten, die Du beschreibst, relevant. Aber sie sind deswegen nicht gleich wahrscheinlich. Um ihre tatsächliche Wahrscheinlichkeit herauszufinden, müssen wir genau wissen, wie viele Kombinationen es gibt. Manche davon sind dann für das Spiel gleichwertig, aber das ist dem Statistiker erstmal egal.

Bei 40 Karten gibt es so viele Möglichkeiten der Verteilung (rund 10^48),

Stimmt nicht, siehe oben und auch unten. Danach sind es nur
10.

Wenn das stimmen würde, dann wäre Doppelkopf ein ziemlich langweiliges Spiel, weil sich durchschnittlich alle 10 Spiele die Ausgangslage wiederholen würde.

Geben wir mal jeder Karte im Deck eine Nummer, von 1 bis 40. Die werden jetzt gemischt. Karte #1 hat 40 mögliche Plätze, #2 hat 39 (weil einer schon belegt ist), #3 hat 38, usw. Die Anzahl aller möglichen Reihenfolgen ist also

n = 40 * 39 * 38 * … * 1 = 40! = ca. 10^48

Da beißt die Maus keinen Faden ab. Natürlich gibt es Verteilungen, die aus Sicht der Spieler gleichwertig sind, weil die Reihenfolge der Karten auf der Hand keine Rolle spielt und weil jede Karte (Farbe + Wert) genau zweimal im Deck vorhanden ist. Das ändert aber nichts an der prinzipiellen Anzahl von Kartenreihenfolgen.

Damit erübrigen sich Deine restlichen Überlegungen.

Dass der Nachweis mathematisch nicht besonders elegant ist,
dass möge man mir als Ingenieur nachsehen.

Er ist nicht unelegant, sondern falsch.

Erlaube mir, einen Witz anzubringen, der zunächst über Physiker erzählt wurde:

Ein Physiker behauptet: Alle ungeraden Zahlen > 1 sind Primzahlen. Beweis: 3 ist eine Primzahl, 5 ist eine Primzahl, 7 ist eine Primzahl, 9 ist ein Messfehler, …

Inzwischen gibt es zu diesem Witz auch eine Ingenieursfassung:

Ein Ingenieur behauptet: Alle ungeraden Zahlen > 1 sind Primzahlen.
Beweis: 3 ist eine Primzahl, 5 ist eine Primzahl, 7 ist eine Primzahl, 9 ist eine Primzahl, …

Vielleicht bemüht
sich jemand anders – ein Profi - um die Herleitung einer
allgemein gültigen Formel zur Lösung dieser
Doppelkopfproblematik.

Ich meinte, ich hätte das getan. Ich finde Binominalkoeffizienten auch immer schrecklich unanschaulich. Deswegen habe ich versucht, Dir eine Lösung zu geben, die ohne diese Dinger auskommt. Du ziehst es aber anscheinend vor, mit einer falschen Lösung zu arbeiten…

Michael

#22

Moin,

„Man soll die Dinge so einfach machen wie möglich - aber nicht
einfacher!“ (A. Einstein)

Was Du schreibst, ist einfach falsch.

Einstein hat seine Behauptungen auch immer schön erklärt. Aber ich denke, Du feilst bestimmt noch an einer guten Erklärung, oder?

Olaf

#23

Hallo Michael,
zunächst müssen wir die Anzahl der möglichen Konstellationen finden, die alleinig zur Entscheidung über „Schweinchen ja/nein“ heranzuziehen sind.
Nicht die Anzahl der Verteilungsmöglichkeiten der im Spiel befindlichen Karten. Auch ist es für die Entscheidung „Schweinchen ja/nein“ belanglos/identisch, ob es sich um das erste oder zweite Karo-Ass handelt.
Doko ist schon ein sehr variantenreiches Spiel. Mit der Auffälligkeit, dass man sich immer wieder fragt : Warum passiert es mir so häufig, dass ich beide Karo-Ass habe, und nicht den anderen ? Schwups, schon steht die Frage nach der Wahrscheinlichkeit im Raume.
Gruß
Karl

#24

Hallo Karl!

zunächst müssen wir die Anzahl der möglichen Konstellationen
finden, die alleinig zur Entscheidung über „Schweinchen
ja/nein“ heranzuziehen sind.
Nicht die Anzahl der Verteilungsmöglichkeiten der im Spiel
befindlichen Karten. Auch ist es für die Entscheidung
„Schweinchen ja/nein“ belanglos/identisch, ob es sich um das
erste oder zweite Karo-Ass handelt.

Wie ich bereits sagte: Das mag für Dich als Spieler egal sein, aber es ist für die Berechnung nicht egal! Wenn ich zwei Münzen werfe, so würdest Du drei Fälle unterscheiden: beide K, beide Z und Kombination aus K und Z. (K=Kopf, Z=Zahl). Demnach wäre die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Münzen Kopf zeigen 1/3, also rund 33%. In Wirklichkeit gibt es aber die Varianten KK, KZ, ZK und ZZ. Deswegen ist die Wahrscheinlichkeit für KK auch nicht 1/3, sondern 1/4, also 25%.

Eingangs sagte ich, dass die Wahrscheinlichkeit das Verhältnis aus günstigen Möglichkeiten zu allen Möglichkeiten ist. Und wenn da steht „alle Möglichkeiten“ dann heißt das auch " alle Möglichkeiten". Punkt. Mehr gibt es dazu nicht zu sagen. Alles andere, was Du und Olaf propagiert, sind nicht gerechtfertigte Verallgemeinerungen und die führen zwangsläufig zum falschen Ergebnis. Manchmal würde es die Bruchrechnung einfacher machen, wenn man in Summen und Differenzen kürzen dürfte. Darf man aber nicht. Das ist so ein ähnlicher Fall, wo man es sich nicht leichter machen darf als erlaubt.

Michael

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#25

Hallo Olaf!

Einstein hat seine Behauptungen auch immer schön erklärt. Aber
ich denke, Du feilst bestimmt noch an einer guten Erklärung,
oder?

Wenn Du mal alle meine Postings in diese Thread gelesen hast, dann weißt Du, dass ich schon erschöpfend Auskunft gegeben habe, warum die Überlegungen von Dir und von Karl falsch sind.

Was die Begründung von Behauptungen anbetrifft: Du schreibst:

„Es darf bei der Lösung gar keine Rolle spielen, dass es insgesamt 40 Karten gibt.“

Damit bist Du derjenige in diesem Teilthread, der als erster eine unbegründete Behauptung aufgestellt hat. Es wäre also an Dir, diese Behauptung zu untermauern.

Und nebenbei: Natürlich macht es einen Unterschied, wieviele Karten im Deck sind: Wenn es sehr viele Karten sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Karo-Ass beim ersten landet natürlich 25%. Wenn es für vier Spieler nur vier Karten gibt (jeder kriegt nur eine) ist die Wahrscheinlichkeit selbstverständlich 0%. Bei jeder anderen Kartenzahl pro Spieler 1
n | P(beide Karo-Asse in einer Hand)
----±--------------------------------
1 | 0/3 = 0%
2 | 1/7 = 14%
3 | 2/11 = 18%
4 | 3/15 = 1/5 = 20%
5 | 4/19 = 21 %
… | …
10 | 9/39 = 23 %
… | …
n | (n-1)/(4n-1)
… | …
∞ | 1/4 = 25%

HTH, Michael

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#26

Hast recht, ich nicht (owT)
Da hab ich daneben gegriffen…

#27

hi,

ich möchte berechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit für ein
sogenanntes Schweinchen im Doppelkopf ist.

Kurz die Regeln:
Folgende Karten gibt es beim Doppelkopf:
Ass, 10, König, Dame, Bube in allen 4 Farben und jede Karte
doppelt. Also insgesamt 40 Stück. Es spielen 4 Spieler mit,
jeder bekommt 10 Karten.

Ein Schweinchen hat man, wenn ein Spieler beide Karo Asse hat.

wenn „ein spieler…“ oder „wenn man …“ ?

die frage ist nicht genau formuliert. was meinst du?

  • die wahrscheinlichkeit, dass man selbst beim austeilen ein schweinchen bekommt?
  • die wahrscheinlichkeit, dass irgendjemand am tisch ein schweinchen hat?
  • die wahrscheinlichkeit, dass ein schweinchen entsteht, wenn man schon ein karo as in der hand hat?

zum ersten:
es gibt 40 über 10 mögliche „hände“ (= 40 über 10 möglichkeiten, aus 40 karten 10 auszuwählen).
tu die 2 karo asse zusammen; es bleiben dann 38 karten, aus denen 8 ausgewählt werden; das sind 38 über 8 möglichkeiten, dass die beiden karo asse bei den 10 ausgewählten karten dabei sind.

38 über 8 durch 40 über 10 =

/ 38 \
\ 8 / 38! 40! 38! 30! 10! 10 \* 9 3
------ = -------- : ------ = ------------- = ------- = -- ~ 5,8%
/ 40 \ 30! 8! 30! 10! 30! 8! 40! 40 \* 39 52
\ 10 /

also: 3 von 52 „händen“ sind ein „schweinchen“; d.h. in 3 von 52 fällen kommt so was vor.

das ist auch die perspektive aus der sicht des einzelspielers. er wird in 3 von 52 partien (also zu knapp 6%) feststellen, dass er ein schweinchen hat.

jetzt stellen wir uns eine lange reihe von spielen vor. in 3 von 52 hat spieler A (im durchschnitt) das schweinchen. in 49 von 52 nicht. wenn spieler A das nicht hat, könnte es spieler B haben. auch in 3 von 52; ABER NUR, wenn es A nicht hat.
bei 52 partien hat B das schweinchen mit der wsk. 3/52 * 49/52, bzw. das schweinchen nicht mit 49/52 * 49/52.
die wahrscheinlichkeit, dass weder A noch B dass schweinchen haben, ist (49/52)^2.
usw.

die wahrscheinlichkeit, dass kein spieler ein schweinchen hat, ist also (49/52)^4. die wahrscheinlichkeit, dass irgendein spieler am tisch so was hat, ist also die gegenwahrscheinlichkeit:
1 - (49/52)^4 ~ 21,2%,
also in gut einem fünftel der fälle. (nicht ganz das vierfache der einzelwahrscheinlichkeit, weil die ereignisse ja nicht unabhängig sind.)

hth
m.

#28

Moin,

richtig müßte es heißen „…mit unglaublicher Belehrungsresistenz…“

Michael hat Recht und es ausführlich begründet.

Gruß
Ingo

#29

Hallo,

ja OK, danke, jetzt ist es mir vollständig klar.

Damit bist Du derjenige in diesem Teilthread, der als erster
eine unbegründete Behauptung aufgestellt hat. Es wäre also an
Dir, diese Behauptung zu untermauern.

Das war eben so ein Bauchgefühl. Aber der Fehler bei Karls und meiner „Vereinfachung“ war der: Manche Spieler haben ausser diesen Assen noch 9 weitere Karten in der Hand und manche 8 und manche 10. Und die Möglichkeiten, diese Nicht-Asse anzuordnen, unterscheiden sich eben, je nachdem, ob es 10 oder 9 oder 8 sind. Bei „unendlich“ vielen weiteren Karten verschwindet dieser Unterschied.

Alles klar soweit, danke und noch einen schönen Tag allerseits.
Olaf

#30

Falsch!
Hallo!

also: 3 von 52 „händen“ sind ein „schweinchen“; d.h. in 3 von
52 fällen kommt so was vor.

Bis hier her gebe ich Dir noch Recht.

jetzt stellen wir uns eine lange reihe von spielen vor. in 3
von 52 hat spieler A (im durchschnitt) das schweinchen. in 49
von 52 nicht. wenn spieler A das nicht hat, könnte es spieler
B haben. auch in 3 von 52; ABER NUR, wenn es A nicht hat.

Falsch. Dass A keine Schweinchen hatte, ist keine Vorbedingung dafür, dass B Schweinchen haben kann. Es gibt nämlich entweder Schweinchen, oder es gibt sie nicht. In den 5,77% Wahrscheinlichkeit steckt schon drin, dass kein anderer Schweinchen hat. Deswegen ist die Wahrscheinlichkeit, dass irgendein Spieler Schweinchen hat einfach 4 * 5,77% = 23%

Oder um es anders herzuleiten: Es gibt vier Hände. In einer dieser vier Hände liegt das eine Karo-Ass. Wenn das andere Karo-Ass in der selben Hand liegt, sprechen wir von „Schweinchen“. In der Hand sind noch 9 Plätze frei, von insgesamt 39 Plätzen für das zweite Karo-Ass. (30 Plätze liegen in den anderen 3 Händen). Also beträgt die Wahrscheinlichkeit 9/39 = 23%.

Michael

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#31

Hallo Michael,
vielen Dank für deine Bemühungen um einen derart Uneinsichtigen wie mich. Bin zum Glück lernwillig und (in Grenzen) lernfähig.

Wie ich bereits sagte: Das mag für Dich als Spieler egal sein,
aber es ist für die Berechnung nicht egal! Wenn ich zwei
Münzen werfe, so würdest Du drei Fälle
unterscheiden: beide K, beide Z und Kombination aus K und Z.
(K=Kopf, Z=Zahl). Demnach wäre die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass beide Münzen Kopf zeigen 1/3, also rund 33%. In
Wirklichkeit gibt es aber die Varianten KK, KZ, ZK und ZZ.
Deswegen ist die Wahrscheinlichkeit für KK auch nicht 1/3,
sondern 1/4, also 25%.

Nun ist der Groschen bei mir gerutscht. War ja ganz zum Anfang auch auf der Rille mit 1/4 .

Eingangs sagte ich, dass die Wahrscheinlichkeit das Verhältnis
aus günstigen Möglichkeiten zu allen Möglichkeiten ist. Und
wenn da steht „alle Möglichkeiten“ dann heißt das auch
" alle Möglichkeiten".

Wie die zwei Ks auf die vier Spieler überhaupt verteilbar sind, zeigt die Tabelle. Jedenfalls sehe ich nicht mehr Möglichkeiten.
Es heiße „AA“ dass Spieler A ein erstes K und ein zweites K habe. „AB“ bedeutet A habe das erste K und B das zweite K. Und so weiter.

AA AB AC AD 
BA BB BC BD
CA CB CC CD
DA DB DC DD

Daraus lese ich :

  • Jeder der Spieler erhält mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/16 zwei Ks.
  • Dass es überhaupt zwei Ks auf einer Hand gibt, dafür ist die
    Wahrscheinlichkeit 1/4.

Ist da noch ein „Wurm“ drin ?

Gruß
Karl

#32

Lieber Karl!

Dies ist jetzt mein letzter Versuch. Wenn Du es dann noch nicht kapierst, muss es Dir jemand anders erklären, denn meine Geduld ist langsam am Ende…

Ist da noch ein „Wurm“ drin ?

Du zählst 16 mögliche Verteilungen auf und gehst stillschweigend davon aus, dass jede Verteilung gleich wahrscheinlich wäre - obwohl ich Dir seit 125 Postings sage, dass es für das zweite Ass wahrscheinlicher ist, dort zu landen, wo noch kein Ass ist.

Um es mal mit Deinen Bezeichnungen zu machen:

Die Spieler A, B, C und D kriegen jeweils 10 Karten. Jetzt machen wir eine Fallunterscheidung: Das eine Karo-Ass liegt bei A. Es bleiben noch 39 Karten übrig. Davon liegen 9 bei A, 10 bei B, 10 bei C und 10 bei D. Wo liegt das andere Ass? Es liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 9/39 bei A, 10/39 bei B, 10/39 bei C und 10/39 bei D. Die gleiche Berechnung stellen wir für die Fälle an, dass das erste Karo-Ass bei B, C bzw. D liegt. Diese vier Fälle treten jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/4 ein (jeder der vier Spieler kann der Glückliche sein, der das so genannte erste Karo-Ass kriegt). Also beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es in irgendeiner Hand Schweinchen gibt

P = P(AA) + P(BB) + P(CC) + P(DD)
= 1/4 * 9/39 + 1/4 * 9/39 + 1/4 * 9/39 + 1/4 * 9/39
= 9/39
= 0,23

q.e.d.

Michael

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#33

Hallo Michael,
vielen Dank, für deine - schließlich auch für mich gut verständliche - Erklärung. Endlich habe ich’s auch verstanden. Dafür wenigstens ein Sternchen.
Gruß
Karl

#34

das ist nachvollziehbar
owT

#35

owT