Eine Leiter von 10 m Länge wird so an eine senkrechte Wand angelehnt, dass sie einen Quader von 1 m Kantenlänge, der ebenfalls an der Wand steht, berührt.
Gesucht wird der Winkel zwischen Wand und Leiter, bzw. die Höhe an der die Leiter die wand berührt.
Hallo Hans,
vor vielen Jahren gab es die Aufgabe mal in der Sendung "Kopf um Kopf". Herauskam, wenn man sich so dumm anstellte wie ich, eine biquadratische Gleichung, der nur die Strahlensätze zugrunde lagen. Das war nur mit ungeheurem Aufwand für mich lösbar. Wenn man die FLÄCHEN mitberücksichtigte, dann war´s total einfach.
Ich hab die Lösung irgendwo. Soll ich sie scannen und schicken ?
wölfchen
Hallo,
zunächst ohne zu rechnen scheinen mir zwei Lsg. zu existieren, die durch Vertauschen von "Boden" und "Wand" ineinander übergehen. Simpel gesagt, kann man die Leiter sehr steil, oder sehr flach an die Wand lehnen. Sei x der "Bodenabstand" der Leiter zum Quader (genauer vom Berührungspunkt der Leiter mit dem Boden bis zum Quader), y der "Wandabstand" der Leiter zum Quader an der Wand (vom Berührungspunkt der Leiter mit der Wand bis zum Quader). Via Strahlensatz erhält man:
(1) x/1=1/y bzw. x*y=1
Pythagoras liefert:
(2) (x+1)2 + (y+1)2 = 100
Einsetzen von (1):
(x+1)2 + (1/x+1)2 = 100
Nach ein paar Umformungen landen wir schließlich bei dem Monster:
x4 + 2*x3 - 98*x2 + 2*x +1 = 0
Ganz so schlimm ist das Teil aber nicht, es handelt sich um eine sogenannte symmetrische biquadratische Gleichung, die wie folgt gelöst werden kann (neben Näherungsverfahren):
Division durch x2 (x=0 scheidet als Lsg. aus):
x2 + 2*x - 98 + 2/x + 1/x2 = x2 + 1/x2 + 2(x+1/x)-98 = 0
Substitution von z=x+1/x liefert:
z2 + 2*z - 100 = 0 (Anm: x2 + 1/x2=z2-2)
pq-Formel liefert:
z1 = -1 + sqrt(101) und z2 = -1 - sqrt(101)
Rückeinsetzen liefert:
x2 - z*x + 1 = 0
Unter Berücksichtigung von z1,2 und Anwendung der pq-Formel erhalten wir zwei "sinnvolle" Lsg:
x1 = 8.94 und x2 = 0.11 (das kursive = steht für "ungefähr gleich")
wobei wir uns auf x2 beschränken (die Leiter soll steil an die Wand gestellt werden). Damit ergibt sich y=8.94 und der Winkel der Leiter zum Boden zu arctan(9.94/1.11) = 83.63.
Gruss
Enno