Quicky 1=-1

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Hallo Frank,

Vielen Dank für die Korrektur!

Da hab ich doch glatt die Wurzel vergessen! Und außerdem statt der von Dir gewünschten Eins i verwendet! i=+/-1 Hmmm??
Es muß natürlich heißen:

wurzel(1)=+/-1 (So ein Fehler sollte einem Mathematiker nun wirklich nicht passieren! Pardon) Das Problem ist, daß im Komplexen die Potenzen über den
(komplexen) Logarithmus definiert sind.
z^x = e^{x*(ln|x|+i(phi+2k*Pi))}
Die Gleichheit kann nur dann gelten wenn man sich stets im
selben "Zweig des Logrithmus" befindet (k bleibt konstant)
Wurzel(-1)*Wurzel(-1) ist hiernach ungleich Wurzel((-1)(-1))
Denn:
Wurzel(-1) = (-1)^1/2 = e^{i/2(phi+2Pi*k)}
mit phi=Pi
Wenn man den Hauptzweig betrachtet (k=0 und 0<=phi<2Pi)
ergibt sich:
Wurzel(-1) = e^i/2*Pi = cos(Pi/2) + i*sin(Pi/2) = i

Während Wurzel((-1)(-1)) = ((-1)²)^1/2 =
(e^2*ln(-1))^1/2 =
(e^i*2Pi)^1/2
= 1 ist, da hier der Hauptzweig wegen der periode 2Pi
verlassen wird.
Ok, einverstanden. Meine Argumentation würde allerdings etwas anders verlaufen (Dahinter steht die Hoffnung, daß es ein Anfänger "im Rahmen der komplexen Zahlen" besser nachvollziehen kann)

Will ich das Ganze aber wirklich für "Anfänger" (allerdings mit etwas "komplexer Vorbildung") erklären, muß ich etwas ausholen:

Für komplexe Zahlen existieren zwei verschiedene Darstellungsformen:

kartesische Koordinaten: z=a+jb

(Bemerkung: E-Techniker verwenden lieber j statt i für die imaginäre Einheit, da i für den Strom steht)

Polarkoordinaten: z=r*e^{j phi}=r*(cos phi + j sin phi) (Euler)

Nun verwendet man die verschiedenen Darstellungen entsprechend den gewünschten Rechenoperationen:

Bei Addition und Subtraktion: kartesische Koordinaten

Bei Multiplikation und Division: Polarkoordinaten

Nun zum Potenzieren: Potenzieren bedeutet schlicht und einfach eine mehrfache Multiplikation.

Soweit die Vorüberlegungen. Nun zum Problem:

Berechnet man z^2, so erhält man in der Polarkoordinatendarstellung:

z^2=r^2*e^{j 2*phi} (Potenzrechengesetze)
=r^2*(cos(2 phi) + j sin(2 phi))

Hieraus erkennt man, wie komplexe Zahlen quadriert werden:

Die Beträge sind zu quadrieren und die Winkel zu verdoppeln.

Nun besitzen bekanntermaßen sowohl Sinus als auch Kosinus die Periode 2*pi.

Dies bedeutet, daß es unendlich viele Winkel phi gibt, die auf dasselbe u=z^2 abgebildet werden.

So, nun zur Wurzel im Komplexen:

Nachdem die 2. Wurzel die Umkehrung des Quadrierens darstellt, erhält man die 2. Wurzel einer komplexen Zahl, indem man aus dem Betrag der gegebenen Zahl die Wurzel zieht und den Winkel halbiert: (Es sei die Zahl unter der Wurzel: z=r*e^{j phi})

wurzel(z)=wurzel(r)*e^{j*phi/2}
=wurzel(r)*(cos(phi/2) + j*sin(phi/2))

Auch hier sind wieder Kosinus und Sinus 2*pi periodisch.

Ist nun am konkreten Beispiel z=1, so lautet die Polarkoordinatendarstellung:

1=1*e^{j 0}=1*e^{j 2k*pi} (k Element Z)

Gemäß den obigen Überlegungen (Periodizität) werden nun alle folgende komplexen Zahlen auf 1=1*e^{j 0} abgebildet:

.
.
.
wurzel(1)=1*e^{ j 6pi/2}
wurzel(1)=1*e^{ j 4pi/2}
wurzel(1)=1*e^{ j 2pi/2}
wurzel(1)=1*e^{ j 0}
wurzel(1)=1*e^{-j 2pi/2}
wurzel(1)=1*e^{-j 4pi/2}
wurzel(1)=1*e^{-j 6pi/2}
.
.
.

Überspringt man in dieser Liste je eine dieser Wurzeln, so bleiben im wesentlichen zwei komplexe Zahlen übrig, die aus der "Sicht" der Wurzel nicht unterscheidbar sind (Periodizität von Sinus und Kosinus):

.
.
.
wurzel(1)=1*e^{ j 6pi/2}=1*e^{j( 3pi-2pi)}=1*e^{j pi}
wurzel(1)=1*e^{ j 4pi/2}=1*e^{j( 2pi-2pi)}=1*e^{j 0}
wurzel(1)=1*e^{ j 2pi/2}=1*e^{j pi}
wurzel(1)=1*e^{ j 0}
wurzel(1)=1*e^{ j -2pi/2}=1*e^{j(- pi+2pi)}=1*e^{j pi}
wurzel(1)=1*e^{ j -4pi/2}=1*e^{j(-2pi+2pi)}=1*e^{j 0}
wurzel(1)=1*e^{ j -6pi/2}=1*e^{j(-3pi+4pi)}=1*e^{j pi}
.
.
.

Im Wesentlichen gibt es im Komplexen also nur die beiden möglichen Wurzeln 1*e^{j 0}=+1 und 1*e^{j pi}=-1 als Wurzeln von 1. Diese beiden sind aber nicht eindeutig als wurzel(1) voneinander unterscheidbar.

Darum gilt im Komplexen: Wurzel(1)=+/-1

Nun, ok, das waren schon ganz schön viele Gedanken. Habe allerdings auch versucht die Grundlagen der komplexen Rechnung aufzuarbeiten, weshalb die Ausführungen wesentlich "länger wirken" als die von Frank, die eine gewisse Grundkenntnis der "komplexen" (im doppelten Sinn) Zusammenhänge voraussetzen.

Meiner Erfahrung nach sind es aber genau diese Grundlagen, die im Wesentlichen dem "Anfänger" im Rahmen der komplexen Zahlen das Verständnis so sehr erschweren (z.B.: Wann verwende ich welche Darstellung).

Gruß

Helga

PS: Hoffe, daß ich diesmal nicht schon wieder irgendwo 'nen Fehler reingesetzt habe! Falls doch: Sorry

lösung Zahl Wurzel frank Null Komplexe Zahlen komplexen Zahlen

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