Von zwei natürlichen Zahlen, die beide größer
als 1 und voneinander verschieden sind, kennt Alfons die Summe
und Berta das Produkt. Die Zahlen selbst kennt keiner von beiden.
Wir hören folgenden Dialog:
Alfons: „Ich kann die beiden Zahlen nicht nennen.“
Berta: „Ich auch nicht.“
Alfons: „Jetzt kenne ich sie!“
Berta: „Ich auch!“
Wie lauten die beiden Zahlen?
wenn alfons nix sagen kann, is die summe größer als 9.
und wenn berta nix sagen kann, is das produkt größer als 12.
denn erst ab diesen zahlen gibt’s jeweils zwei möglichkeiten, mit zwei verschiedenen zahlen >1 die summe bzw. das produkt zu bilden.
aber wie man nun drauf kommt, was für zwei zahlen das sind…?
*ratlossei*
gruß
michael
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Eine ganz schön harte Nuß…
Nun gut, trotzdem will ich auch mal einen Schuß ins Blaue wagen. Wenn Alfons die Zahlen nicht nennen kann, dann muß es natürlich mehr als eine Möglichkeit geben, diese als Summe zweier Zahlen darzustellen. Dasselbe muß aber dann auch für Berta gelten.
Meine Vermutung ist, eine Zahl zu finden, die zweimal als Produkt darstellbar ist, wobei alle Zahlen unterschiedlich sind.
Deshalb kann Berta auch die Zahlen nicht eindeutig bestimmen. Wenn aber Alfons diese Information erhält, kann er ein falsches Zahlenpaar ausschließen und weiß somit das Ergebnis (Falls es überhaupt eines gibt!).
Mehr fällt mir auch nicht ein…
Wenn ich da auf dem Holzweg bin, gib doch biiiiitte einen kleinen Hinweis!
MfG
Michael
Prinzipiell können es keine 2 Primzahlen sein, weil sonst für Berta die Primzahlzerlegung eindeutig wäre.
Fangen wir also bei der kleinsten Summe an, die nicht eindeutig ist. Das wäre die 7, die kann aus 2 + 5 oder 3 + 4 entstehen. Nur bei 3 und 4 ist das Produkt 12 auch nicht eindeutig ( kann 2*6 oder 3*4 sein ). Berta kann allerdings nicht unterscheiden, ob die Summe 7 ( 3+4 ) oder 8 ( 2+6 ) war.
Nehmen wir also die nächstgrößere Summe 9 = 2+7 = 3+6 = 4+5. Die Möglichkeit 2+7 fällt weg ( 2 Primzahlen). Bleiben also noch die anderen beiden, die aber beide auch für Berta nicht eindeutig wären, weshalb Alfons aus Bertas Aussage nichts schließen könnte.
Nehmen wir die Summe 10 gibt es die Möglichkeiten 10 = 2+8 = 3+7 = 4+6. 3 und 7 entfällt (Primzahlen). 2 und 8 entfällt auch, denn das Produkt 16 wäre für Berta auch eindeutig. Bei 4 und 6 hat Berta das Produkt 24, was sich aber auch aus 2*12 oder 3*8 ergibt. Hat Alfons also die Summe 10, könnte er aus Bertas Unwissenheit schließen, daß die Zahlen 4 und 6 sind. Für Berta gäbe es daraufhin aber noch 3 Möglichkeiten. Bei 2+12 = 14 und 3+8 = 11 gäbe es für Alfons aber mehr als eine Möglichkeit, bei der das Produkt für Berta nicht eindeutig gewesen wäre, sodaß ihn ihre Unkenntnis nicht zur Kenntnis der Zahlen gebracht hätte.
Also kann auch Berta schließen, daß die Zahlen 4 und 6 sein müssen. Für Summen größer 11 gibt es dann auch immer mehr als eine für Berta nicht eindeutige Kombination.
Jörg
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3 und 4
die erste Zahl, die Produkt von verschiedenen Zahlen sein kann, wenn die 1 ausscheidet, ist die 12
Kann Produkt sein von 3 und 4 oder 2 und 6
3 und 4 ergeben Summe: 7, von den möglichen Summanden (5+2 oder 4+3) ergibt aber nur 4 und 3 ein Produkt mit verschiedenen Lösungsmöglichkeiten, weil 5 x 2=10 ist und dieses Produkt ist eindeutig
Bei allen höheren möglichen Produkten gibt es dann aufgrund der Zerlegung dieser Zahl in viele mögliche Summanden keine eindeutige Lösung mehr.
Bsp. 16 (kann 8x2 oder 4x4 sein), bei der Summandenzerlegung ist aber keine eindeutige Lösung möglich
8 und 2 > 10 8x2=16 und 6x4 =24 möglich
4 und 4 > 8 6x2=12 und 4x4=16 möglich.
Steffen
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Aufloesung
Jetzt mal die Aufloesung:
Aus der ersten Feststellung von A folgt die Mehrdeutigkeit der
Zerlegung der Summe S in zwei zulässige Summanden, somit gilt S>6.
Analog folgt aus der Erwiederung von B die Mehrdeutigkeit der
Zerlegung des Produktes P in zwei zulässige Faktoren.
Beide Folgerungen sind sowohl A als auch B bekannt, wie der weitere Dialog beweist.
Nun kann A in der Summendarstellung diejenigen Summandenpaare streichen, deren Produkt auf eine eindeutige Zerlegung in zwei
zulässige Faktoren führt. Weil A danach die Lösung kennt, ist
genau ein Summandenpaar übrig geblieben.
Eine entsprechende Untersuchung liefert uns folgende Fälle
(Klammerpaare sind gestrichen):
7=(2+5)=3+4 -> P=12
8=2+6=(3+5) -> P=12
9=(2+7)=3+6=4+5 -> P=mehrdeutig
10=(2+8)=(3+7)=4+6 -> P=24
11=2+9=3+8=4+7=5+6 -> P=mehrdeutig
12=2+10=(3+9)=4+8=(5+7) -> P=mehrdeutig
usw.
Man erkennt, daß Summen > 10 mindestens 4 Summandenpaare enthalten und damit auf kein eindeutiges Produkt P führen können. Also kommen nur die Summen 7, 8 und 10 in Frage.
Weil aber jetzt auch B die Lösung kennt, scheiden die Summen 7 und 8 aus, denn sie führen beide auf das Produkt 12.
Somit gilt S=10, P=24 und die gesuchten Zahlen lauten 4 und 6.
Gruss, Moriarty
Vielleicht bin ich ja zu begriffstutzig, aber deine Lösung funktioniert doch nur unter der Prämisse, daß die zweite Äusserung von Alfons keinen Irrtum enthält.
Praktisch kann Alfons diese 2.Behauptung nicht mit Sicherheit aufstellen, da die ersten beiden Behaputungen von Alfons und Berta für mehrere mögliche Fälle gelten.
Beispiel:
Summe = 14 (ist für Alfons mehrdeutig 2+12 4+10 usw
Produkt = 24 (ist für Berta mehrdeutig 4x6 2x12 usw.
Das Rätsel müsste für die 2.Behauptung also korrekt formuliert sein:
Alfons: Wenn ich die Zahlen jetzt kenne, kennst du Sie auch.
Oder ?
Gruß Michael