Mal was sportliches - Fußball | Denkspiele & Rätsel

Mal was sportliches - Fußball

Von: , Frage gestellt am Mi, 10. Okt 2001

Hallo Rätsler!

(Dieses Rätsel ist hier seit mindestens 103 Tagen nicht aufgetaucht, jetzt traue ich mich, es zu posten... :-)

Die Außenhülle eines "klassischen" Fußballs besteht aus gleichseitigen Fünf- und Sechsecken. Wer sich zufälligerweise gerade nicht erinnert, diese sind wie folgt angeordnet:

- jedes Fünfeck ist von fünf Sechsecken umgeben

- jedes Sechseck ist von drei Fünfecken und drei Sechsecken umgeben, und zwar abwechselnd.

Und nun zum Problem: Wie viele Fünf- und Sechsecke sind es denn?

Es ist übrigens nicht der Sinn dieses Rätsels, sich zur nächsten öffentlichen Grünanlage zu begeben, einem armen Kind den Fußball wegzunehmen und nachzuzählen. Mich interessiert vielmehr auch die Frage, warum es gerade soviele sind. Brauche ich die gleiche Anzahl, wenn ich nur einen kleinen Fußball benötige (z.B. einen Handball)?

Also, ich erwarte "mathematische" Antworten.

Viel Spaß

wünscht Ralf *derdamalsvielevieleseitenmitsinenundpythagorenvollgemalthatseufz*

18 Antworten zu dieser Frage

Antwort von nach 12 Stunden 0 hilfreich

Re: Mal was sportliches - Fußball

Hallo Ralf!
Also, ich erwarte "mathematische" Antworten.

Das lohnt wahrscheinlich den Aufwand nicht. Ich vermute, dass nach tagelangem sinenundpythagorenvollgemalthaben rauskommt, dass es keine Kombination aus 5- und 6-Ecken gibt, die sich zu einem regelmäßigen Körper zusammenfügt, sondern dass sich damit nach dem Aufpumpen eine bestmögliche Annäherung an die Kugelform ergibt.
Warum sind es gerade soviele?

Diese Frage verstehe ich nicht.
Brauche ich die gleiche Anzahl, wenn ich nur einen kleinen
Fußball benötige (z.B. einen Handball)?

Eindeutig ja - wenn aus x 5-Ecken und y 6-Ecken eine Kugel angenähert werden kann, dann gilt das unabhängig von der Größe der Kugel, dh ein im Durchmesser halb so großer Ball braucht halb so große Flicken.

Gruß Ralf
*derlieberschätztalsrechnet*

Antwort von nach 15 Stunden 0 hilfreich

Re^2: Mal was sportliches - Fußball

Ich vermute, dass
nach tagelangem sinenundpythagorenvollgemalthaben rauskommt,
dass es keine Kombination aus 5- und 6-Ecken gibt, die
sich zu einem regelmäßigen Körper zusammenfügt
Doch die gibt es, aber wie der Körper heißt weiß ich nicht. Das wußte auch der Entdecker des Buckminsterfullerens nicht und als er deshalb bei einem Mathematiker anrief und ihn fragte, ob es einen regelmäßigen Körper mit 60 Ecken, 12 Fünfecken und 20 Sechsecken gäbe sagte der "Ich könnte Ihnen jetzt alles mögliche erzählen aber ich glaube was Sie da haben ist ein Fußball."
- Antwort von nach einem Tag 0 hilfreich
  
  unsportliche Variante ...
  
  Doch die gibt es, aber wie der Körper heißt weiß ich nicht.
  Seufz. Früher, als wir jeden Winter 20km durch 3m hohen Schnee zur Schule laufen mussten (nicht zu vergessen die Wölfe, die aus den finsteren Wäldern über den zugefrorenen Fluss kamen), da war Geometrie noch eine Wissenschaft. Die Kinder von heute geben nur noch "Fußball" und "Polyeder" bei Google ein und ...
  
  Gruß, Ralf

Antwort von nach 15 Stunden 5 hilfreich

Re: Mal was sportliches - Fußball

Ich versuchs mal.

Sei E die Anzahl aller Ecken, K die Anzahl aller Kanten und F die Anzahl aller Flächen. F5 die Anzahl der Fünfecke und F6 die Anzahl der Sechsecke.

Damit haben wir 5 Unbekannte.
Um auch nur den Schimmer einer Hoffnung auf eine eindeutige Lösung zu haben, brauchen wir 5 Gleichungen.
Hier die erste:

A) F5+F6=F ;-)

Eine zweite liefert der Eulersche Polyedersatz, der besagt, dass

B) E+F=K+2 (Beweis durch Induktion schenk ich mir hier)

Du hast Recht: Aus Symmetriegründen grenzen an jedes Fünfeck fünf Sechsecke und an jedes Sechseck drei Fünfecke und drei Sechsecke.

Außerdem stoßen an jeder Ecke genau drei Flächen zusammen (wären es zwei oder weniger, so wäre es keine Ecke, und wären es vier oder mehr, so müssten die Winkel kleiner als 90 Grad sein, was bei regelmäßigen Fünf- und Sechsecken nicht der Fall ist)

Uns fehlen immer noch drei Gleichungen. Die kriegen wir durch Zählen:
Erstmal zählen wir die Kanten:
An jedes Fünfeck grenzen 5 Kanten, macht insgesamt F5*5; An jedes Sechseck grenzen 6 Kanten, macht F6*6. Da jede Kante an zwei Flächen stößt, haben wir damit jede Kante doppelt gezählt, also:
C) 5*F5+6*F6 = 2*K

Nun zählen wir analog die Ecken. Wieder trägt jedes Fünfeck 5 und jedes Sechseck 6 Ecken bei. Da aber an jede Ecke drei Flächen stoßen, haben wir jede Ecke dreimal gezählt und erhalten:
D) 5*F5+6*F6 = 3*E

Nun gehen wir alle Fünfecke durch und zählen die daran angrenzenden Sechsecke. Das sind 5*F5, da an jedes Fünfeck 5 Sechsecke grenzen. Da andererseits jedes Sechseck an 3 Fünfecke grenzt, haben wir damit jedes Sechseck dreimal gezählt, also
E) 5*F5=3*F6

Nun gehts ans Auflösen:
A) in B) einsetzen:
E+F5+F6=K+2
mit 6 multiplizieren:
6*E+6*F5+6*F6=6K+12
rechts 3*C) ensetzen:
6*E+6*F5+6*F6=15*F5+18*F6+12
aufräumen:
6*E=9*F5+12*F6+12
2*D) links einsetzen:
10*F5+12*F6=9*F5+12*F6+12
aufräumen:
F5=12
juchuu.
E) liefert dann:
F6=20.

Antwort von nach 19 Stunden 0 hilfreich

Spitze (wie immer)! (owT)
- Antwort von nach einem Tag 0 hilfreich
  
  Dankeschööööön (auch o.T.)
  
  o.T. sagichdoch
Antwort von nach einem Tag 0 hilfreich

Re: Ui!

Ich versuchs mal.
'Ich versuchs mal' sagt sie ...

ins Schwarze, würde ich sagen. (Ins Fünfeck?!)
Vielen Dank für eine Lösung die ich noch nicht kannte. Wir stellen fest: Fussball ist uninteressant, da berechenbar.

Jetzt bin ich bloß noch gespannt, ob auch jemand mit einer geometrischen (konstruktiven) Lösung ankommt.

Platonisch-polyedrische Grüße,
Ralf
- Antwort von nach einem Tag 0 hilfreich
  
  konstruktion
  
  Jetzt bin ich bloß noch gespannt, ob auch jemand mit einer
  geometrischen (konstruktiven) Lösung ankommt.
  Wohlan.
  Du, der Du der Generation angehörst, die ohne zu murren morgens vor Sonnenaufgang 20km zur Schule wanderte, wirst sicher ein Ikosaeder konstruieren können. ;-) Das nehmen wir mal.
  
  Bestandsaufnahme: 20 Flächen (gleichseitige Dreiecke), 30 Kanten, 12 Ecken, in denen je 5 Flächen zusammenstoßen.
  
  Davon kappen wir einfach jede Ecke bei 1/3 der Kantenlänge.
  Damit wird jede der 12 Ecken zu einem regelmäßigen Fünfeck, und jede der 20 Dreiecksflächen zu einem Sechseck.
  Fertig.
  Das ist zwar konstruktiv, aber der Beweis der Eindeutigkeit fehlt hier.
  
  Körper, deren Begrenzungsflächen identische regelmäßige n-Ecke sind, heißen "Platonische Körper", die bei denen verschiedene Sorten regelmäßiger n-Ecke erlaubt sind, "Archimedische Körper".
  Letztere erhält man aus ersteren durch Abschneiden der Ecken oder Kanten.
  Einer der bürgerlichen Namen des untersuchten Objekts ist übrigens "abgestumpftes Ikosaeder".
  - Antwort von nach 5 Tagen 2 hilfreich
    
    Re: konstruktion
    
    Hallo Barbara,
    
    meine Idee war: ich verbinde die Mittelpunkte benachbarter Sechsecke miteinander (benachbart sind solche, die eine Kante gemeinsam haben). Da jedes Fünfeck von fünf Sechsecken umgeben ist, entsteht zu jedem Fünfeck ein inneniegendes, größeres Fünfeck. Jedes Sechseck ist abwechselnd von Fünf- und Sechsecken umgeben, also ist der Mittelpunkt jedes Sechsecks gleichzeitig Eckpunkt dreier Fünfecke. Dem Fußball einbeschrieben ist damit also ein regelmäßiger Polyeder, das aus gleichen Fünfecken besteht. Also ein Dodekaeder. Jeder Fläche des Dodekaeders (12) läßt sich eineindeutig ein Fünfeck des Fußballs zuordnen, jeder Ecke (20) eineindeutig ein Sechseck.
    
    Gruß, Ralf

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