Herleitung eines Integrals

Von: (abgemeldet) , Frage gestellt am Do, 2. Jul 2009

Guten Tag.

Meine Kenntnisse der Integralrechnung sind extrem einge- bis verrostet. Bei untiger Aufgabe fehlt mir der Ansatz. Vielleicht schubst mich jemand mal vom Schlauch.

Gegeben ist die Funktion

f(x):=2 für ∀ x ∈ Q 
f(x):=1 für ∀ x ∈ R\Q

Gesucht ist die Fläche unter dem Graphen zwischen y-Achse und x=b mit b>0.

Untersumme? Obersumme? Wie muss ich ansetzen, nachdem ich zu wissen glaube, dass es zwischen zwei x ∈ Q unendlich viele x ∈ R\Q gibt? Zu Hülf, ihr Leyt ...

GEK

4 Antworten zu dieser Frage

Antwort von nach einer Stunde 1 hilfreich

Re: Herleitung eines Integrals

Gegeben ist die Funktion

f(x):=2 für ∀ x ∈ Q
f(x):=1 für ∀ x ∈ R\Q

Gesucht ist die Fläche unter dem Graphen zwischen y-Achse und
x=b mit b>0.
Hi Gunter !

Definiere dir die Hilfsfunktion g(x)=f(x)-1. Dann gilt

$Formel: \int\limits_0^b f(x)dx=\int\limits_0^b g(x)+1 dx=\int\limits_0^b g(x)dx+b=0+b=b$

Dabei musst du das Lebesgue-Integral verwenden, denn g(x) ist die sogenannte Dirichlet-Funktion, oder auch Dirichlet'sche Sprungfunktion, und die ist nicht Riemann-integrierbar sondern nur Lebesgue-integrierbar.
http://de.wikipedia.org/wiki/Dirichlet-Funktion

Gruß

hendrik

Antwort von (abgemeldet) nach einer Stunde 0 hilfreich

Heißen Dank!

Ich will zwar nicht behaupten, etwas begriffen zu haben, aber zumindest weiß ich jetzt, warum es mit herkömmlichen ~~Waschmi~~ Methoden nicht klappen wollte ;-)

Danke dich. Kriegst auch mal n Appel, wenn wir schlachten ...

GEK
- Antwort von nach 2 Stunden 1 hilfreich
  
  Lebesgue- und Riemann-Integral in Kurzfassung
  
  Hallo GEK,
  
  ich denke, ich kann Deinem Verständnis etwas auf die Sprünge helfen:
  Das mit den Ober- und Untersummen, was man aus der Schule kennt, ist das Riemann-Integral. Dass das Dir hier nicht weiterhilft, ist klar: denn wenn Du die Rechtecke für Obersummen bildest, kriegst Du bei Deiner Funktion immer den y-Wert 2; während Du für die Untersummen nur den Wert 1 nehmen kannst. (Begründung: In jedem Abschnitt der x-Achse liegen unendlich viele rationale, aber auch unendlich viele irrationale Zahlen.)
  
  Nun kann man sich überlegen, dass es "weniger" rationale als irrationale Zahlen gibt, weil man die rationalen in eine Reihenfolge bringen kann (http://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_erstes_Diagonal...), während dies für die irrationalen (bzw. für alle reellen Zahlen) nicht möglich ist (http://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_zweites_Diagona...).
  
  Wenn Du dies jetzt weißt, verstehst Du folgende Aussage meines Analysis-Profs über die Funktion f(x)={0, falls x irrational; 1, falls x rational}:
  
  "Ich bin schon über fünfzig, ich sehe nicht mehr so gut. Wenn ich jetzt hier hinten in der letzten Reihe sitze und die Funktion anschaue, dann sehe ich nur die Linie bei y=0. Also sollte die Fläche unter diesem Graphen doch Null sein."
  
  Und genau das tut das Lebesgue-Integral: Es sieht nicht so scharf hin. Es beachtet einfach keine Mengen, die man in eine Reihenfolge bringen kann (man sagt auch: die abzählbar sind). Damit kannst Du Deine Funktion jetzt wunderbar integrieren.
  
  Liebe Grüße
  Immo
  - Antwort von (abgemeldet) nach 2 Stunden 0 hilfreich
    
    Re: Lebesgue- und Riemann-Integral in Kurzfassung
    
    Hallo. ich denke, ich kann Deinem Verständnis etwas auf die Sprünge helfen:
    Ich danke für das mir entgegengebrachte Vertrauen :-)
    
    GEK

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