Hossa 
Am einfachsten macht man sich das klar, wenn man die folgende simple Definition von Wahrscheinlichkeit verwendet:
\mbox{Wahrscheinlichkeit}=\frac{\mbox{Anzahl der guenstigen Ereignisse}}{\mbox{Anzahl der moeglichen Ereignisse}}
Beim Würfeln ist z.B. die Wahrscheinlichkeit für eine „5“ genau 1/6. Denn es gibt genau ein günstiges Ereignis, nämlich die „5“ fällt, und genau 6 mögliche Ereignisse, mämlich „1“, „2“, … oder „6“ fällt.
In dem folgenden „Bild“ ist E die Menge aller möglichen Ereignisse. A ist eine bestimmte Menge von Ereignissen und B ebenfalls. Ein paar Ereignisse liegen sowohl in A als auch in B; diese „Schnittmenge“ ist mit Sternchen gefüllt.
/----------------------------------\
| |
| /----------\ |
| | | |
| | /----|-------------\ |
| | |\*\*\*\*| B | |
| | \----|-------------/ |
| | A | |
| \----------/ |
| E |
\----------------------------------/
Nun kannst du direkt zwei Wahrscheinlichkeiten ablesen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis aus der Menge B eintritt:
P(B)=\frac{\mbox{Anzahl der Elemente in B}}{\mbox{Anzahl der Elemente in E}}
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis aus der Schnittmenge von A und B (im „Bild“ mit Sternchen gefüllt) eintritt:
P(A\cap B)=\frac{\mbox{Anzahl der Elemente in }A\cap B}{\mbox{Anzahl der Elemente in E}}
Nehmen wir nun an, wir wissen bereits, dass ein Ereignis aus der Menge B eingetreten ist. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis auch in der Menge A liegt?
Die Anzahl der möglichen Fälle ist nun gleich der Anzahl der Elemente in der Menge B, denn wir wissen ja bereits, dass das Ereignis in B liegt. Die Anzahl der günstigen Fälle ist gleich der Anzahl der Elmente in der Schnittmenge von A und B. Diese Wahrscheinlichkeit wird auch Wahrscheinlichkeit von A bezüglich B genannt:
P_B(A)=\frac{\mbox{Anzahl der Elemente in }A\cap B}{\mbox{Anzahl der Elemente in B}}
Wir erweitern den Bruch auf der rechten Seite mit einer „1“:
P_B(A)=\frac{\mbox{Anzahl der Elemente in }A\cap B}{\mbox{Anzahl der Elemente in B}}\cdot\frac{\mbox{Anzahl der Elemente in E}}{\mbox{Anzahl der Elemente in E}}
und sortieren die Faktoren etwas um:
P_B(A)=\frac{\mbox{Anzahl der Elemente in }A\cap B}{\mbox{Anzahl der Elemente in E}}\cdot\frac{\mbox{Anzahl der Elemente in E}}{\mbox{Anzahl der Elemente in B}}
P_B(A)=\frac{\mbox{Anzahl der Elemente in }A\cap B}{\mbox{Anzahl der Elemente in E}}\div\frac{\mbox{Anzahl der Elemente in B}}{\mbox{Anzahl der Elemente in E}}
Nun kannst du die beiden Terme auf der rechten Seite durch die oben identifizierten Wahrscheinlichkeiten ersetzen:
P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}
Der Unterschied zwischen bedingter Wahrscheinlichkeit und totaler Wahrscheinlichkeit ist also folgender:
Bei der totalen Wahrscheinlichkeit ist die Anzahl der möglichen Fälle nicht eingeschränkt, die Ereignismenge ist E.
Bei der bedingten Wahrscheinlichkeit ist Anzahl der möglichen Fälle bereits auf eine Teilmenge von E eingeschränkt, in unserem Beispiel war das die eingeschränkte Ereignismenge B.
Das wird besonders deutlich, wenn du in der Bayes-Formel einfach mal E an Stelle von B einsetzt:
P_E(A)=\frac{P(A\cap E)}{P(E)}=\frac{P(A)}{1}=P(A)
Viele Grüße
