unecht gebrochenrationale funktion 2.grades

moin;

natürlich kannst du (theoretisch) auch kürzen (das würde allerdings die Lücke eliminieren), wenn der Nenner nur eine Nullstelle besitzt - dann hast du eben nur einen Faktor, der rausgekürzt werden könnte.

Da der Nenner bereits ein Linearfaktor ist, brauchen wir uns da nicht besonders anstrengen; bleibt also noch der Zähler: Die Kombination von Linearfaktoren bekommt man am sichersten heraus, indem man die Nullstellen der Funktion bestimmt.
x²+4 hat keine reellen Nullstellen, also insbesondere nicht die Nullstelle 2 und wird demzufolge den Faktor x-2 nicht enthalten, sodass dieser auch nicht herausgekürzt werden kann. (Daraus folgt wiederum, dass aus (x-2) direkt eine Polstelle - statt einer Lücke - abzulesen ist)

Ein Beispiel, wo das ganz wunderbar funktioniert:
(x²-4)/(x-2)=((x+2)(x-2))/(x-2) => Lücke: 2, Nullstelle: -2.

mfG