Hallo,
ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:
mein Massenpunkt gleitet reibungsfrei unter dem Einfluss der Schwerkraft auf der Oberfläche einer Kugel mit dem Radius R runter. Er startet dabei am obersten Punkt mit der Geschwindigkeit v0.
Gesucht ist die Höhe h, gemessen vom Kugelmittelpunkt, bei der der Massenpunkt die Kugeloberfläche verlässt.
Könnt ihr da weiterhelfen?
Gruß
Oliver
mein Massenpunkt gleitet reibungsfrei unter dem Einfluss der
Schwerkraft auf der Oberfläche einer Kugel mit dem Radius R
runter. Er startet dabei am obersten Punkt mit der
Geschwindigkeit v0.
Gesucht ist die Höhe h, gemessen vom Kugelmittelpunkt, bei der
der Massenpunkt die Kugeloberfläche verlässt.
Hi Oliver,
im folgenden sei t („theta“) der Winkel des MP gemessen gegen die Vertikale (d. h. der MP startet bei t=0).
Befindet sich der MP an der Position t, so hat er gerade
delta h = R (1 - cos t)
an Höhe verloren.
ES: Wpot(0) + Wkin(0) = Wpot(t) + Wkin(t)
Wpot(0) = 0
Wkin(0) = 1/2 m v0^2
Wpot(t) = -m g delta h = - m g R (1 - cos t)
Wkin(t) = 1/2 m v^2
Alles in den ES eingesetzt liefert:
1/2 m v^2 = 1/2 m v0^2 + m g R (1 - cos t)
Aufgelöst nach v^2/R:
v^2/R = v0^2/R + 2 g (1 - cos t) [*]
Die Zentripetalkraft, die den MP bis zu einem bestimmten Grenz-t auf der Kugeloberfläche hält, ist
m v^2/R,
und die Normalkraft (Komponente der Gewichtskraft senkrecht zur Kugeloberfläche) ist
m g cos t.
Gleichsetzen unter Verwendung von [*] liefert:
v0^2/(g R) + 2 (1 - cos t) = cos t
Für den Spezialfall v0=0 (MP startet mit infinitesimal kleinem Schubsi) ergibt sich 2 (1 - cos t) = cos t. Sicher läßt Du Dir sofort mal die beiden Funktionen 2 (1 - cos x) und cos x plotten, um zu gucken, ob sich die Graphen auch wirklich schneiden, und wo.
v0^2/(g R) ist eine Konstante, die ich mit „k“ abkürze.
==> k + 2 (1 - cos t) = cos t
==> cos t = (k + 2)/3 (speziell für k=0: cos t = 2/3 ==> t = 48.2°)
==> delta h = R (1-(k+2)/3)
==> delta h = R (1-k)/3 mit k = … (siehe oben)
MfG
Martin
Hallo Martin,
==> k + 2 (1 - cos t) = cos t
==> cos t = (k + 2)/3 (speziell für k=0: cos t = 2/3 ==>
t = 48.2°)
==> delta h = R (1-(k+2)/3)
==> delta h = R (1-k)/3 mit k = … (siehe oben)
Erstmal danke für die Mühe, aber deine Formel kann doch nicht stimmen, denn für wachsende v0 - und damit wachsende k - wird die Höhe delta h, ab wo der Massenpunkt die Kugel verläßt kleiner! Sie sollte aber immer größer werden.
MfG
Martin
Hi Oliver,
ich hab mir gerade noch mal die Aufgabenstelung durchgelesen. Gesucht war die Höhe gemessen vom Kugelmittelpunkt ; mein delta h ist jedoch der Höhenverlust des MP, wird also gegen den Startpunkt (= „Nordpol“ des Kugel") gemessen.
Es gilt:
Gesuchte Höhe h = R - delta h = … (selbst einsetzen und ggf. noch vereinfachen).
Ciao
Martin
Jetzt ist es klar! Ok, danke!
OLIVER