wert Zahlen Menge folge Metrik Abgeschlossenheit

Abgeschlossenheit

Von: , Frage gestellt am Mo, 15. Apr 2002

Hallo,

ist die Menge der natürlichen Zahlen eigentlich abgeschlossen? Immerhin ist doch jede Cauchyfolge in N konvergent!

Gruß
OLIVER

2 Antworten zu dieser Frage

1. Antwort von nach einer Stunde 0 hilfreich

   Re: Abgeschlossenheit

   Hallo,
   ist die Menge der natürlichen Zahlen eigentlich abgeschlossen?
   Immerhin ist doch jede Cauchyfolge in N konvergent!
   
   Gruß
   OLIVER
   Jeder topologische Raum ist als ganzes abgeschlossen. Was Du meinst, ist die Vollstaendigkeit, und ja, rein formal ist N vollstaendig. Nur was bringt das?
   
   Ciao Lutz
   

2. Antwort von nach einer Stunde 0 hilfreich

   Re: Abgeschlossenheit

   Hi Oliver! ist die Menge der natürlichen Zahlen eigentlich abgeschlossen?
   Mengen auf offen- oder abgeschlossenheit zu prüfen macht erstmal nur Sinn, wenn du angibst, _worin_ sie diese Eigenschaft besitzen sollen und mit welcher Metrik.
   Wahrscheinlich willst du es aber in R mit der eukl. Metrik haben, oder?
   (Denn in N selber ist N offen und abgeschlossen bez. jeder Metrik.) Immerhin ist doch jede Cauchyfolge in N konvergent!
   Nein. die Aussage, daß ein metr. Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergent ist auch abgeschlossen ist, stimmt zwar, aber:
   Es geht um den Grenzwert der Folgenwerte, die nicht notwendig aus N sein müssen.
   Zum Beispiel ist (1/n) eine Folge über R und g: N->R, n->1/n. Die Folge ist eine Cauchy-Folge un in R auch konvergent, aber das hat nichts mit N zu tun.
   Konstruierst du eine Folge über N, so ist diese ja auch nur konvergant, wenn sie konstant ist (h:N->N, n->a), und dann hast du tatsächlich gezeigt, daß {a} abgeschlossen ist.
   Zwar gilt das auch für jeden Punkt, aber die Vereinigung abg. Mengen ist nur abg., wenn es sich dabei um eine endliche Vereinigung handelt, was bei N aber nicht der Fall ist.
   
   Gruß
   Tyll
   

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