Ich hätte eine Frage!
Was bedeutet das Wort „equivalent“ eigentlich? Dies beschäftigt mich besonders bei den Ausdrücken equivalente Lösung und Equivalenzklassen! Kann mir jemand weiterhelfen??
Hallo Benedikt,
das wird eine ganz schöne Mörderantwort. 
Also, bei Lösungen spricht man dann von äquivalent, wenn sie aussagengleich sind, also mittels erlaubter mathematischer Umformungen ineinander überführt werden können. Damit zerfällt die Menge aller möglichen Lösungen in Klassen von Lösungen, welche alle dasselbe Ergebnis bedeuten. In einer Klasse ist z.B. die 2, Wurzel aus 4, 2 hoch 1, 8/4, u.s.w.
Nun muß man noch wissen, was allgemein eine Relation ist. Es sei A eine Menge, dann ist AxA die Menge aller Elementpaare (a,b) für die gilt, daß a und b Elemente der Menge A sind. Eine Teilmenge von AxA heißt Relation.
Angenommen, die Menge A sind die 100 Mitglieder eines Vereins, dann ist AxA die Menge aller Paare, die man auslosen kann, indem man z.B. aus zwei Sektkübeln mit den 100 Visitenkarten je eine losartig zieht.
Denkbare Relationen (Schreibweise: a(A ~ b(A heißt a Element A in Relation zu b Element A) wären jetzt:
In einem Schachverein die Relation der unmöglichen Gegner:
a~b a=b
(man spielt nicht gegen sich selbst)
In einem (heterosexuellen ) Tanzverein die Relation der möglichen Tanzpaare:
a~b a weiblich und b männlich oder a männlich und b weiblich
Oder einfach
a~b a ist verheiratet mit b
Nun gibt es Relationen mit bestimmten Eigenschaften:
Reflexiv: a~a für alle a(A
Transitiv: a~b und b~c => a~c
Symmetrisch: a~b => b~a
Eine Sonderstellung nehmen die Relationen ein, die transitiv, reflexiv und symmetrisch sind, die sogenannten Äquivalenzrelationen. Ein Beispiel ist, wenn A die Menge der natürlichen Zahlen ist, die Relation:
R={(a,b)(NxN| a mod 10 = b mod 10},
bei der zwei Elemente also in Relation stehen, wenn sie nach Division durch zehn den gleichen Divisionsrest liefern. Also 14~24, 197~7, 25~5, aber 3 nicht ~ 99. Die Besonderheit ist, daß hierbei die Menge in Klassen, sog. Äquivalenzklassen zerfällt, welche paarweise disjunkt (teilerfremd) sind… Hier eben die 10 Klassen der Zahlen, deren Rest 0, 1, 2, …,9 ist. Und damit ist auf märchenhafte Weise der Zusammenhang zu den äquivalenten Lösungen hergestellt, welche ich oben angesprochen habe, so daß sich auch die Namensgleichheit erklärt.
Ich hoffe, damit etwas Licht in das Dunkel gebracht zu haben.
Gruß
Ted
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um einmal ganz kurz zu fassen…
equivalent heißt „gleichgedeutend“.
das beste beispiel sind formeln:
a=b ist equivalent zu b=a
und
a=b ist gleich a=b
das ist ungefähr die diskussion über „das gleiche“ und „das selbe“
ich hoffe, daß es annähernd verstanden wurde *fg*
mfg Danny
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Hallo Benedikt,
von Aequivalenz spricht man bei Aussagen, d.h. es koennen Aussagen aequivalent oder nicht aequivalent sein.
Dabei ist eine Aussage ein Satz, dem man genau einen der Wahrheitswerte „Wahr“ und „Falsch“ zuordnen kann.
Zwei Aussagen heissen aequivalent, wenn sie beide den gleichen Wahrheitswert besitzen, also beide wahr oder beide falsch sind.
Von Gleichheit spricht man bei Mengen. Damit hhat man dann auch ist dann auch die Gleicheit von Zahlen, Vektoren etc. behandelt; denn man kann z.B. x=3 auffassen als {x}={3} (Gleichheit von einelementigen Mengen).
Auf Gleichungen angewendet heisst das, dass z.B. die Gleichungen
2 x = 8
und x + 2 = 6
die gleichen Loesungen besitzen, d.h. ihre Loesungsmengen gleich sind.
Anabel
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