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stetige Verzinsung

Von: , Frage gestellt am Mo, 10. Jan 2000

ich hab' da ein kleines Problem: es betrifft die Herleitung der Formel für die stetige Verzinsung oder Augenblicksverzinsung.
Also:
K sei das Kapital, p der Zinssatz und Z das "neue" Gesamtkapital.
Dann gilt:
Z=K(1+p/100)t
t sind Jahre
Bei Zinseszinsen geht das dann so:
Z=K(1+p/100)^t
Nun will ich Monate berechnen, nicht Jahre, also:
Z=K(1+p/(100*12))^(t*12)
wobei t wiederum Jahre sind;
Ich will aber nun nicht monatliche Verzinsung und auch nicht tägliche, sondern stetige(also in jedem auch noch so kleinen Zeitraum); wenn ich dann statt der 12 die Variable n einsetze und n gegen unendlich gehen lasse(also das Jahr in unendlich viele unendlich kleine Bruchstücke teile),
müßte es doch gehen?
Z=K(1+p/(100*n))^(t*n)
ACHTUNG, jetzt kommts:
ich erweitere mit (p*100)/(100*p):
Z=K(1+p/(100*n))^(p*100/p*100)*(t*n)
das forme ich um zu:
Z=K(1+p/(100*n))^(100*n/p)*(t*p/100)
nun lasse ich n gegen unendlich gehen:
der Term (1+p/(100*n)^(100*n/p) geht gegen die Eulersche Zahl e;
Ich kann also schreiben:
Z=K*e^(t*p/100)
Das ist die Formel für die Augenblicksverzinsung; aber was hindert mich daran im Erweiterungsschritt statt mit (p*100)/(100*p) mit zB (p*2)/(2*p) zu erweitern? Die Formel ist dann ganz anders, aber rein mathematisch wäre es doch richtig?

Wer kann mir helfen?

1 Antworten zu dieser Frage

1. Antwort von nach 13 Stunden hilfreich

   Re: stetige Verzinsung

   ich hab' da ein kleines Problem: es
   betrifft die Herleitung der Formel für
   die stetige Verzinsung oder
   Augenblicksverzinsung.
   Also:
   K sei das Kapital, p der Zinssatz und Z
   das "neue" Gesamtkapital.
   Dann gilt:
   Z=K(1+p/100)t
   t sind Jahre
   Bei Zinseszinsen geht das dann so:
   Z=K(1+p/100)^t
   Nun will ich Monate berechnen, nicht
   Jahre, also:
   Z=K(1+p/(100*12))^(t*12)
   wobei t wiederum Jahre sind;
   Ich will aber nun nicht monatliche
   Verzinsung und auch nicht tägliche,
   sondern stetige(also in jedem auch noch
   so kleinen Zeitraum); wenn ich dann statt
   der 12 die Variable n einsetze und n
   gegen unendlich gehen lasse(also das Jahr
   in unendlich viele unendlich kleine
   Bruchstücke teile),
   müßte es doch gehen?
   Z=K(1+p/(100*n))^(t*n)
   ACHTUNG, jetzt kommts:
   ich erweitere mit (p*100)/(100*p):
   Z=K(1+p/(100*n))^(p*100/p*100)*(t*n)
   das forme ich um zu:
   Z=K(1+p/(100*n))^(100*n/p)*(t*p/100)
   nun lasse ich n gegen unendlich gehen:
   der Term (1+p/(100*n)^(100*n/p) geht
   gegen die Eulersche Zahl e;
   Ich kann also schreiben:
   Z=K*e^(t*p/100)
   Das ist die Formel für die
   Augenblicksverzinsung; aber was hindert
   mich daran im Erweiterungsschritt statt
   mit (p*100)/(100*p) mit zB (p*2)/(2*p) zu
   erweitern?
   Nichts. Die Formel ist dann ganz
   anders, aber rein mathematisch wäre es
   doch richtig?
   Klar, aber man erweitert ja gerade mit (p*100)/(100*p) um dann bei der Grenwertbildung (1+p/(100*n))^(100*n/p) gegen e ersetzen zu können. Würdest Du mit (p*2)/(2*p) erweitern, wäre dieser "Trick" nicht möglich und Du hättest Probleme den Grenzwert zu berechnen.
   Wer kann mir helfen?
   

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