hallo,
also seit einer Woche diskutieren wir die Möglichkeit der Berechnung des Problems:
Kreisrunde Wiese, am Rande wird das Schaf angepflockt, wie kann ich erreichen, dass genaus die Hälfte abgegrast wird.
Heute ich zum Ergebnis gekommen, dass es keine Lösung gibt.
Liege ich richtig ?
Gruß
Theo
Soll das Problem rein geometrisch gelöst werden ?
oder sind beliebige Hilfsmittel (computer, Maßstäbe, etc.) erlaubt ?
Bitte die Randbedingungen noch etwas präziser angeben.
Gruß Moriarty
es gibt keinerlei Einschränkungen.
Hallo zurück,
dieses Problem gehört eindeutig in die FAQs. Hier eine mögliche Lösung, welche ich vor langer Zeit (noch vor der Rechtschreibreform, shame on me) einmal gepostet habe:
Gruß
Ted
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Puh,
das ist knifflig!
Also, wenn man den Zaunpfahl in den Koordinatenursprung legt, dann wird der relevante Halbkreis durch die Funktion
F1:y=r-sqrt(r^2-x^2)
beschrieben, der Aktionsradius der Ziege sei l, dann ist ihr Auslauf beschränkt durch
F2:y=sqrt(l^2-x^2)
Diese beiden Funktionen beschreiben einen Normalbereich bezüglich der x-Achse, so das die abkaubare Fläche durch (oh Gauss, sei mir gnädig ob dieser Schreibweise)
Integral von –z bis z (Integral von F1 bis F2 1 dy)dx
gegeben ist. Etwas unangenehm ist, daß die x-Werte der Schnittpunkte von F1 und F2 ebenfalls nur mittels transienter Funktionen darstellbar sind. Also sind sie zunächst mit z und –z bezeichnet. Die Lösung für dieses Doppelintegral ist
l^2*ATAN(z/SQRT(l^2-z^2))+r^2*ASIN(z/ABS®)+z*(SQRT(l^2-z^2)+SQRT(r^2-z^2)-2*r)
Soll die Ziege genau die Hälfte abfressen, so lautet die Lösungsgleichung:
2*l^2*ATAN(z/SQRT(l^2-z^2))+2*r^2*ASIN(z/ABS®)+2*z*SQRT(l^2-z^2)+2*z*SQRT(r^2-z^2)-4*r*z=pi*r^2
Wenn man nun einen o.B.d.A. einen Einheitskreis betrachtet, also r=1 setzt, und weiterhin die Beziehung
l^2=z^2 + (1-sqrt(1-z^2))^2
ausnutzt, dann reduziert sich das Ziegenproblem auf die Lösung der folgenden transzendenten Gleichung in z:
4*(1-SQRT(1-z^2))*ATAN(z/SQRT(-2*SQRT(1-z^2)-z^2+2))+2*ASIN(z)+2*z*SQRT(-2*SQRT(1-z^2)-z^2+2)+2*z*SQRT(1-z^2)-4*z-pi=0
Ich kann mir nicht vorstellen, daß hierfür eine analytische Lösung existiert, kann dieses aber auch nicht ausschließen. Ich habe die Lösung numerisch mittels einfacher Bisektion ermittelt, man erkält:
Z=0.9444433782
L^2=1.3426516742
L=1.1587284730
Das Seil muß also 1.1587 mal so lang sein wie der Radius des eingezäunten Bereiches.
Gruß und gute Nerven beim Nachrechnen
Ted
Hallo,
Denkansatz:
Das Problem reduziert sich auf die Berechnung der Schnittfläche zweier Kreise, welche halb so gross wie einer der Kreise sein soll. Dabei kann vorgegeben werden:
Länge der Leine > Radius der Wiese (L > W) (ist logische Anfangsüberlegung)
Verbindet man die Schnittpunkte der beiden Kreise, so erhält man eine Sehne S, deren Länge die Schnittfläche in zwei Kreisabschnitte teilt (ein Abschnitt von L und einer von W). Die Berechnung der Fläche von Kreisabschnitten kann in Formelsammlungen nachgeschaut werden (weiss ich jetzt nicht auswendig). Für die Berechnung der beiden Abschnitte fehlt jeweils noch die Angabe h (Höhe des Abschnitts).
Verbindet man die Kreismittelpunkte mit einem der Schnittpunkte der Kreise, so erhält man ein gleichschenkeliges Dreieck mit den Seitenlängen W,W,L. Die Sehne stellt dabei die Höhe über einer der Seiten W dar und teilt diese in zwei Abschnitte (oder verlängert die Seite, wenn der Spitzenwinkel > 90 Grd), von denen einer (bzw die Summe aus Verlängerung und Seite) die gesuchte Höhe des Kreisabschnitts der Wiese ist (Formel -> Höhe im gleichschenkligen Dreieck). Der Abschnitt des Leinenkreises ist dann Leinenlänge - Abschn.(Wiese).
Damit lassen sich die beiden Kreisabschnitte berechnen, deren Summe ist die abgrasbare Fläche, welche 1/2 Wiesenfläche sein muss.
Gruss, Niels