Hôpitalisten und Hospitanten gesucht!
Von: , Frage gestellt am Do, 14. Nov 2002
Im Verlaufe meiner Untersuchungen zur ("Riemannschen") Zetafunktion stieß ich auf 2 zahlentheoretische Methoden, die sowohl "trivialer Natur" sind als auch bislang in der matheamtischen Literatur merkwürdigerweise unbekannt scheinen.
Ich bin nun zwecks Veröffentlichung meiner Ergebnisse auf der Suche nach geeigneten Namen für diese Methoden, die ich bislang noch provisorisch "Limes-Methode" und Methode der "Diversitätserweiterung" genannt habe.
Die "Limes-Methode" (oder auch "Hôpitalsche") dient zur Umwandlung von gleichermaßen endlichen wie unendlichen Summen in ebensolche Produkte.
Triviales Beispiel: 1 + 2 = lim{n*(1-[1-1/n]*[1-2/n]}, für n gegen unendlich, bzw., zwecks Anwendung der Regel von de l´Hôpital,
1 + 2 = lim{(1 - [1-1x]*[1-2x])/x}, für x gegen 0
Diese Methode nähert sich natürlich mit kleiner werdendem x rapide der zu erwartenden 3, aber ist für diese Aufgabe natürlich etwas sehr umständlich, denn das können ja schon sehr viele, bis drei zählen, meine ich.
Da man sie aber auch auf unendliche Summen anwenden kann (so sie nur konvergent sind), zeigt sie ihren Nutzen speziell z.B. bei der Berechnung der unendlichen Summe der natürlichen Kehrwertquadrate, Summe{1/n^2}, für n von 1 gegen unendlich, die ja bekanntlich gegen pi^2/6 konvergiert, und von Zeta- (und Iota)Funktionswerten allgemein.
Zeta(2) = Summe{1/n^2} = 1 - (1 - S{1/n^2}) =
lim{(1 - [1 - S(x^2/n^2)])/x^2}, für x gegen 0, =
lim{(1 - Prod[1 - x^2/n^2])/x^2}, für x gegen 0,
wobei das unendliche Produkt Prod[1 - x^2/n^2] bekanntlich gleich dem "Sinusprodukt" ist, also gleich sin[pi*x]/[x*pi], folglich gilt:
Zeta(2) = lim{(1 - sin[pi*x]/[x*pi])/x^2} =
lim{(x*pi - sin[pi*x])/[pi*x^3]},
und das ist nur noch eine "Hôpitalsche 0/0 Bestimmung" und ergibt in 3 Schritten:
1. lim{(pi - pi*cos[pi*x]])/(3*pi*x^2)}, für x geg 0 und
2. lim{(pi^2*sin[pi*x]])/(6*pi*x)}, für x geg 0 und
3. lim{(pi^3*cos[pi*x]])/(6*pi)}, für x geg 0,
= lim{(pi^2*1/6} = (pi^2)/6 !!!
Bei "höheren Summen" (Exponenten), für die es keine Art "Sinusprodukt" gibt, kann man dennoch mithilfe Zerlegung in Linearfaktoren und der "Gammafunktion" weiterrechnen, es gibt allerdings nur für gerade Exponenten eine "geschlossene" Form, da dort die Gamma-Argumente paarweise "negativ-konjugiert" auftreten und der "Eulersche Ergänzungssatz" angewendet werden kann.
Diese "geradzahligen Zetafunktionswerte" können aber auch schrittweise aus der eben berechneten Zeta(2) mithilfe meiner (neuen?) "zweiten Methode" berechnet werden, die mit dem Satz von Vieta zusammenhängt, und die ich zunächst: "Diversitätserweiterung" genannt habe.
Zum Beispiel ist Zeta(4) = Summe{1/n^4}, n von 1 bis unendlich, = {Zeta(2)}^2 - 2*Summe{[1/n1^2]*[1/n2^2]}, für n1 ungleich n2, wobei die letztere Summe sich aus Koeefizientenvergleich der Sinusreihe und des ausmultplizierten Sinusproduktes als pi^4/5! ergibt.
Also folgt: Zeta(4) = (pi^2/6)^2 - 2*pi^4/5! =
pi^4/36 - pi^4/60 =
pi^4/90 !!!
Diese Methode als "Diversitätserweiterung" kann am besten an dem Problem der endlichen Summe der Produkte aller möglichen "6 Richtigen" im Lotto demonstriert werden. Wohlgemerkt: der Summe der Produkte, nicht der Anzahl der möglichen verschiedenen 6er-Kombinationen von Zahlen zwischen 1 und 49!
"Einerstufe": es gibt 49 verschiedene Zahlen, also ergibt sich als Summe D1 = S1 = 49/2*(49+1) = 1225.
"Zweierstufe": Die Summe der Zweierkombinationen ergibt sich binomisch als D2 = (1/2)*(D1*S1 - S2), wobei S2 die Summe der Quadrate der 49 Zahlen sind.
Also ist D2 = (1/2)*(1225^2 - (49/6)*50*99 = 730100
d.h. die Summe aller Produkte je zweier der "6 Richtigen" ist schon ca 3/4 einer Million.
Also ist D3 = (1/3)*(D2*S1 - D1*S2 + D0*S3), wobei D0 immer = 1.
Also ist D3 =
(1/3)*(730100*1225 - 1225*40425 + 1500625) = 282117500,
also schon fast 300millionen.
Also ergibt sich für D6:
(1/6)*(D5*S1-D4*S2+D3*S3-D2*S4+D1*S5-D0*S6), und das ergibt etwa 3*10^15, also 3 Billiarden!!!
Bei den Zetasummen nenne ich die unendliche Summe der Produkte von k unterschiedlichen (Kehrwert)Quadraten "PDk", die unendliche Summen der kten (Kehrwert)Potenzen "PSk", und es ergibt sich zb für k=3:
PD3 = (1/3)*(PD2*PS1 - PD1*PS2 + PD0*PS3 =
pi^6/7!=(1/3)*([pi^4/5!]*pi^2/6 -[pi^2/3!]*pi^4/90 +PS3=
also:
PS3 = 3*pi^6/7! - [pi^4/5!]*pi^2/6 + [pi^2/3!]*pi^4/90 =
pi^6/945, die ebenfalls bereits bekannte Formel.
Alle weiteren "geraden" Zetafunktionswerte können wiegesagt nach dem gleichen Verfahren sukzessive entwickelt werden, was mir bereits bis Zeta(12) gelungen ist.
Mir ist natürlich auch die Formel zur ebenfalls sukzessiven Berechnung der Zetafunktion für gerade Exponenten bekannt, aber hier ist ein Weg geschaffen, diese Werte relativ "zufuß" zu berechnen, ohne Benutzung der für mich recht ominösen "Bernouillizahlen", die ja im ungerade Falle auch nicht helfen tun.
Übrigens kann man die noch ziemlich unbekannte Integralformel für alle natürlichen Werte auch ziemlich billig "auf Abiturniveau" mittels partieller Integration entwickeln.
Ich meine: Zeta(k+1)=(1/k!)*Int{[-ln(t)]^k/(1-t) *dt}, 0, 1 und substituiert mit u = -ln(t), also t = e^[-u],
Zeta(k+1) = (1/k!)*Int{u^k/[e^u - 1]*du}, 0, unendlich
Mit meinem Programm MathCad gibt es allerdings durch die Genauigkeitsgrenze 10^[-15] erhebliche durch Rundung bedingte Fehler, wenn man als obere Grenze x > +200 winsetzt!
Sonst aber schon recht genau!
Ich habe eine Schrift "Et Zetera" im MathCadVII-Format, die ich demnächst wohl privat ausdrucken und verschicken werde, in Vorbereitung; als 1te Nummer eines "bookletters" namens >Froscholler<, und könnte interessierten Mathefreaks hier, die über dies Programm verfügen, schon vorab einzelne Teile zumailen.
Ich hoffe, daß sich hier im Forum den einen oder die andere begeisterte(n) Mathematen/in finde, und würde mich freuen, einzelne Verständnisfragen auf diesem schwierigen Gelände hier beantworten zu können.
Wäre sehr schön, wenn sich hier ein Kreis von nicht-mehr-ganz-Amateuren findet.
Zunächst einmal, da ich mir nicht vorstellen kann, daß diese beiden o.e. Methoden wirklich neu sind, freue ich mich (natürlich im negativen Falle etwas enttäuscht) auf Informationen.
moin, manni.