Erklärung Einheit Pythagoras Punkt Abstand vektor Richtungsvektor

Abstand von Punkt - Gerade im R3

Von: , Frage gestellt am Mi, 1. Mär 2000

durch eine Vektorkette.
Hallo!

Wir hatten heute eine Zeichnung an der Tafel, die ich nicht verstehe.
Es war eine Gerade im R3 gegeben und ein Punkt R, gefragt war der Abstand von R zur Geraden g, dieser sollte durch eine Vektorkette ausgerechnet werden:
Auf der Geraden g war der Aufhängepunkt P eingezeichnet und F (der Lotfußpunkt), dazu noch der Vektor r und p.
Den Abstand sollte man nun mit Pythagoras ausrechnen können:
____________________
d = \/(r-p)2 - [(r-p)*u]2

Ach ja, u soll der Richtungsvektor von g vom Betrag 1 sein (<- schon nicht verstanden!)
und das unter der Wurzel sollen alles vektoren sein.
Ich hoffe, ich habe die Aufgabe verständlich formuliert.
Meine Frage ist:
1. Was soll dieser Vektor u sein (klar, der Richtungsvektor von g) aber wieso soll er 1 sein? Muss das?
2. Wie kommt man auf den 2. Term, den man bei Pythagoras quadrieren soll? (der erste ist klar, dass ist die Strecke vom Aufhängepunkt der Geraden zu R)

Ich hoffe, mir kann jemand helfen...

NINA

2 Antworten zu dieser Frage

1. Antwort von nach 3 Stunden hilfreich

   Re: Abstand von Punkt - Gerade im R3

   Hallo Nina !
   
   Erstmal : u ist der "normierte Vektor" d.h. der Richtungsvektor wird durch seinen Betrag geteilt, damit erhaelt man den normierten Vektor, der in dieselbe Richtung zeigt, aber den Betrag 1 hat. wozu man dies hier braucht, spaeter.
   Zweitens: Du hast ein rechtwinkliges dreieck mit den Eckpunkten R,P und F. die Strecke PR ist Dir ja bekannt(Betrag von r-p zum Quadrat oder auch direkt den Vektor quadriert, gibt dasselbe), und RF ist gesucht. du brauchst noch PF. Jetzt kommt der Trick : wenn Du (r-p) mit dem Einheits-Richtungsvektor skalarmultiplizierst, erhaeltst Du den Betrag, den die Projektion von (r-p) in Geradenrichtung hat - also genau den Betrag von PF.
   (Grund : es gilt fuers Skalarprodukt: u*v=|u|*|v|*cos(alpha), d.h. wenn |u|=1, dann steht da nur noch (im rechtwinkligen Dreieck betrachtet : cos=ankathete/Hypotenuse !) der Betrag der Ankathete in Deinem rechtwinkligen Dreieck. (r-p) war bei Dir ja die Hypotenuse.
   
   So, ich hoffe, das war nicht zu verworren. Versuchs dir nochmal an ner Skizze klar zu machen !
   
   Matthias [Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
   

   • Antwort von nach einem Tag hilfreich

     Re^2: Abstand von Punkt - Gerade im R3

     Hallo Matthias!
     
     Vielen dank für die Erklärung!
     Ich hab´s dank deiner Hilfe verstanden!
     Danke schön!
     
     Nina
     

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