Druck wert Wurzel Gleichung Potenz Zahl x Supra

weitere Frage

Von: , Frage gestellt am Do, 10. Jul 2003

Hallo,

vielen Dank für die vielen Antworten!
Ich habe noch eine weitere Frage:

Mit x^^n moechte ich x^x^x^x... bezeichnen (x taucht n-mal auf)
(Nenne ich "Suprapotenz")
Weiterhin meine ich mit "Suprawurzel" einer Zahl x
die Zahl y, die mit sich selbst potenziert x ergibt.

Gibt es eine Lösung im komplexen Raum für die Gleichung
x = suprawurzel(i) ?

Wenn ja, kann man mithilfe der suprawurzel eine im
komplexen Raum _nicht_ lösbare Gleichung bilden?
(natuerlich nicht trivial)

Oder koennte man eine solche gleichung durch eine "supra-
supra...-Wurzel" konstruieren?
Wenn nein, warum?

Für Antworten wäre ich sehr dankbar da ich mir ueber
dieses Problem schon lange Gedanken mache.

Viele Gruesse
Roman Sztyler

6 Antworten zu dieser Frage

1. Antwort von nach 2 Stunden 2 hilfreich

   Re: weitere Frage

   Hallo Roman,
   
   es ist schon etwas spät und der Wein zeigt bereits ein wenig Wirkung - ich hoffe aber, dass das Folgende trotzdem noch Sinn ergibt. :-) Mit x^^n moechte ich x^x^x^x... bezeichnen (x taucht n-mal auf)
   Ich nehme an, Du meinst x^(x^(x^x...)) und nicht (((x^x)^x)^x)... Letzteres könnte man ja folgendermaßen vereinfachen, z.B. für n = 3:
   
   (x^x)^x = x^(x^2),
   
   während der erste Term zu
   
   x^(x^x) = x^[exp(x log x)] = exp[exp(x log x) * log x]
   
   wird (ich nehme zunächstmal reelle x > 0 und damit auch den reellen log). Schon an diesem einfachen Beispiel siehst Du, dass bei gegebenem n (=3) und gegebenem Termwert, man die gesuchte Lösung x kaum in einem geschlossenem Ausdruck (mit elementaren Funktionen) angeben wird können. Die Lösungs-Situation ist dann ähnlich wie z.B. bei Ausdrücken der Form
   
   log x + arctan x = 0.
   
   Selbst im Reellen wird man hier letztlich nur numerisch zum Ziel kommen. (Hierbei stellt sich natürlich auch die Frage, ob wir z.B. die log-Funktion wirklich "kennen". Im Grunde ist das ja auch nur die Umkehrfunktion einer Potenzreihe, an die wir uns gewöhnt haben und für die wir Näherungswerte leicht bestimmen können. Aber ich schweife ab...). Weiterhin meine ich mit "Suprawurzel" einer Zahl x
   die Zahl y, die mit sich selbst potenziert x ergibt.
   Gesucht ist, bei gegebenem x, die Zahl y mit der Eigenschaft y^^y = x? Hier, muss ich gestehen, kann ich nicht ganz folgen. Du hast die Suprapotenz doch erst nur für natürliche Supraexponenten definiert (Die Anzahl der hintereinander geschachtelten Exponentialfunktionen oben entspricht wohl Deinem Supraexponenten minus 1). Was dieser Begriff bei reellen Supraexponenten bedeuten soll, hast Du noch nicht erklärt (oder ich sehe es im Moment nicht). Aus dem Grund weiß ich erst recht nicht, was i^^i bedeuten soll (oder die Gleichung z^^z = i). Wenn ja, kann man mithilfe der suprawurzel eine im
   komplexen Raum _nicht_ lösbare Gleichung bilden?
   (natuerlich nicht trivial)
   Nicht lösbare Gleichungen zu erzeugen, sollte nicht so schwierig sein. Man braucht dazu nur eine Funktion f, deren Wertebereich nicht ganz C ist. In diesem Fall wäre die Gleichung
   
   f(z) = a,
   
   wobei a außerhalb des Wertebereichs gewählt werden muss, nicht in der Menge der komplexen Zahlen lösbar.
   
   Übrigens erinnert mich Deine Schreibweise x^^x an ein Paper, das ich mal gesehen habe und in dem sehr große Zahlen untersucht wurden (warum auch immer). Dort wurde auch die Schreibweise x^^^x für eine noch schneller wachsende Funktion verwendet, wenn ich mich im Augenblick recht erinnere. Ist nicht mein Gebiet, ich habe die Sachen auch nicht hier, kann Dir also jetzt keinen konkreten Link o.ä. angeben - morgen Nachmittag vielleicht.
   
   Viele Grüße,
   Martin
   

   • Antwort von nach 11 Stunden 1 hilfreich

     Re^2: weitere Frage

     Übrigens erinnert mich Deine Schreibweise x^^x an ein Paper,
     das ich mal gesehen habe und in dem sehr große Zahlen
     untersucht wurden (warum auch immer). Dort wurde auch die
     Schreibweise x^^^x für eine noch schneller wachsende Funktion
     verwendet, wenn ich mich im Augenblick recht erinnere. Ist
     nicht mein Gebiet, ich habe die Sachen auch nicht hier, kann
     Dir also jetzt keinen konkreten Link o.ä. angeben - morgen
     Nachmittag vielleicht.
     
     
     Hallo Martin,
     
     x^^x ist eine Schreibweise für hyperexponentielle Zahlen.
     Unter Stichwort Grahams number googlen hilft.
     dabei ist 3^3=27
     3^^3=(3^3)^(3^3)=27^27=4,43*10^28
     3^^^3=(3^^3)^(3^^3)=^(4,43*10^28)^(4,43*10^28)
     3^^^^3=(3^^^3)^(3^^^3)= Die Zahl ist schon SEHR groß.
     und jetzt wird das ganze noch viele Schritte weitergemacht bis man schließlich bei Grahams number ist.
     Diese ist die größte in der Mathematik sinnvoll benutzte Zahl. Sie ist die obere Schranke für eine mindeste Dimension, bei der irgendwelche geometrischen Bedingungen Herrschen. Mehr weiss ich auch nicht mehr.
     Die Vermutung für diese mindeste Dimension ist (glaub ich) 7.
     
     Herzliche Grüße,
     
     Max
     

     • Antwort von nach 12 Stunden 1 hilfreich

       Re^3: weitere Frage

       Hallo Max,
       
       stimmt, inzwischen habe ich den Link auch gefunden. Es scheint, dass schon Donald Knuth (der, von dem auch TeX stammt, nehme ich an) diese Schreibweise verwendet hat. Ich kenne mich da aber auch nicht aus.
       
       Also, die Links, die ich meinte, sind:
       
       http://www-users.cs.york.ac.uk/~susan/cyc/b/big.htm
       
       und
       
       http://mathforum.org/discuss/sci.math/m/394644/394645
       
       Merkwürdige Sachen gibt's... :-)
       
       Viele Grüße,
       Martin Hallo Martin,
       
       x^^x ist eine Schreibweise für hyperexponentielle Zahlen.
       Unter Stichwort Grahams number googlen hilft.
       dabei ist 3^3=27
       3^^3=(3^3)^(3^3)=27^27=4,43*10^28
       3^^^3=(3^^3)^(3^^3)=^(4,43*10^28)^(4,43*10^28)
       3^^^^3=(3^^^3)^(3^^^3)= Die Zahl ist schon SEHR groß.
       und jetzt wird das ganze noch viele Schritte weitergemacht bis
       man schließlich bei Grahams number ist.
       Diese ist die größte in der Mathematik sinnvoll benutzte Zahl.
       Sie ist die obere Schranke für eine mindeste Dimension, bei
       der irgendwelche geometrischen Bedingungen Herrschen. Mehr
       weiss ich auch nicht mehr.
       Die Vermutung für diese mindeste Dimension ist (glaub ich) 7.
       
       Herzliche Grüße,
       
       Max
       

   • Antwort von nach 20 Stunden 1 hilfreich

     Re^2: weitere Frage

     Hallo,
     
     sorry, ich hab mich zu verworren ausgedrueckt:
     Mit der Suprawurzel von x meine ich die Zahl y fuer die gilt:
     y^y = x
     
     Die Suprapotenz x^^n ist x^(x^(x^(x^(... wie schon vermutet.
     Die Supra-suprapotenz waere dann x^^(x^^(x^^(x^^(...
     
     Meine Frage war, ob man fuer die Gleichung
     x^x = z mit (z € C) und (Def=C)
     ein z finden koenne (ausser 0) damit die Gleichung keine
     Loesung besäße. (z.b. x^x = i)
     
     
     Und ob man es mit einer Gleichung der Form
     x^^^^^...x = z
     schaffen koenne
     
     
     Oder ist das unmoeglich?
     
     
     Gruesse Roman
     

     • Antwort von nach 3 Tagen 1 hilfreich

       Re^3: weitere Frage

       Hallo Roman, Mit der Suprawurzel von x meine ich die Zahl y fuer die gilt:
       y^y = x
       Meine Frage war, ob man fuer die Gleichung
       x^x = z mit (z € C) und (Def=C)
       ein z finden koenne (ausser 0) damit die Gleichung keine
       Loesung besäße. (z.b. x^x = i)
       Da die allgemein Potenz über die Exponentialfunktion definiert ist, ist dies äquivalent zu
       
       y^y = exp(y log y) = x.
       
       Nehmen wir an, es gäbe eine Funktion W(z) mit der Eigenschaft
       
       (*) W(z) exp[W(z)] = z.
       
       Dann gilt für y := exp[W(log x)] die Gleichung
       
       exp(y log y) = exp[ exp(W(log x)) log y] =
       = exp[ exp(W(log x)) W(log x)] = [wg (*)] = exp[ log x ] = x,
       
       d.h. so ein y würde die erste Gleichung tatsächlich lösen. Wegen der (*) Eigenschaft (und weil die Faktoren dort nicht Null sind) könnte man das y auch so schreiben:
       
       y = log x / W(log x).
       
       So eine Funktion W gibt es tatsächlich, da die Gleichung (*) bei gegebenem z ( nicht 0) unendlich viele Lösungen hat. Es handelt sich um die LambertW Funktion, zu der (ähnlich wie beim komplexen Logarithmus) sogar unendlich viele Zweige existieren. Die Antwort auf Deine Frage ist also: Es gibt immer Lösungen zu Deiner Gleichung.
       
       Wenn Du ein bisschen googelst, sollten Dir genügend Seiten zu der Funktion angezeigt werden. Und ob man es mit einer Gleichung der Form
       x^^^^^...x = z
       schaffen koenne
       Deine Suprapotenz mit ganzen Exponenten leuchtet mir ein, glaube ich. Die Frage war vielmehr, was x^^x für reelle x sein soll. Sage mir z.B. was
       
       (sqrt 2)^^(sqrt 2)
       
       sein soll... (Wahrscheinlich muss man hier mit ganzen Wurzeln, also rationalen Supraexponenten approximieren. Ist die Approximation dann eindeutig, d.h. wohldefiniert? Nun, vermutlich erhält man eher wieder unendlich viele Zweige solcher Wurzeln. Oder gibt es vielleicht eine sinnvolle Darstellung mit Hilfe der LambertW-Funktion, von der es ja auch unendlich viele Zweige gibt. Wenn ich es richtig gesehen habe, hattest Du solche Exponenten oben im Gesprächsfaden noch nicht definiert - aber ich glaube nicht, dass dies zu unlösbaren Gleichungen führen würde...)
       
       Wie auch immer, das Thema iterierter (ganzer) Wurzeln, d.h. was ist z.B. x in
       
       x^^5 = x^(x^(x^(x^x) = 42,
       
       oder auch für komplexe rechte Seiten, führt sicher wieder zu der besagten LambertW Funktion.
       
       Ich denke allerdings, dass solche Funktionen, wie auch schon x^x, ganz C (bis auf die Null) "erreichen" können, d.h. dass solche Gleichungen im Komplexen stets (zumindest numerisch) lösbar sein dürften.
       
       ***
       
       Kurzes Googeln führt zu etwa
       
       http://users.forthnet.gr/ath/jgal/math/exponents3.html
       
       Ich sehe gerade, dass Lemma 1 genau diese Frage behandelt. Die obige Vermutung wird dort bewiesen (und auch meine Rechnung von ganz oben wird auch durchgeführt - ich hätte sie mir also sparen können... tja...).
       
       Viele Grüße,
       Martin
       

2. Antwort von nach 3 Tagen 1 hilfreich

   Re: weitere Frage

   Hallo, Roman!
   
   Manfred Jungjohann, der hier mitliest aber zur Zeit nicht schreiben kann, bat mich, Dir dies noch als Antwort zu geben:
   
   "Diese Frage wird bzw wurde v.a. in den USA bereits spätestens in den 90er Jahren untersucht, u.a. von einem McDonnell der Fairfield-Universität, (weitere Namen: D. Rüthing, Paderborn, K.D.Drews, Rostock, Jürgen Elstrodt, Münster) und zwar als Frage der "iterierten Potenzen", also der Funktionen fn(x) = x^x^x^x^^^[z](n mal "aufgebäumt), wo aber die Potenzierung korrekt, also "von oben anfangend" zu verstehen ist. Denn zB 2^3^4 = 2^(3^4) = 2^81 = 2,41785...*10^24, denn nur ((2^3)^4 = 2^(3*4) = 2^12 0 4096.
   Ein besonderes Item ist das Verhalten bei "unendlicher Iteration" der Potenzierung, also x^x^x^x^^^^^^. "unendlichmal aufgebäumt"
   Natürlich ist 1^1^1^1^^^= 1, und mit -1 gibts -1.
   Bei rein reellen "Argumenten", also x ele |R, liegt Konvergenz vor nur im Intervall ~0,06 = e^(-e) = (1/e)^e <= x <= e^[1/e] = ~1,4466688, mit den "Zielwertgrenzen" 1/e und e.
   Das hat speziell Armin Bantle auch bewiesen.
   Denn wenn ((x)), das ist meine Notion, = x^x^x^x^^^ = unendlich konvergent gegen y, dann muß ja auch gelten x^y = y, also x = y^(1/y), und die Funktion f(y) = y^(1/y) hat ja ihr (einziges) Maximum bei y = e und y^(1/y) = e^(1/e).
   Für die untere Grenze muß zunächst eine 2stufige Zerlegung gemacht werden, die man auf Englisch mit "o" und "e" (odd and even, ungerade und gerade) namentlich unterscheiden tut.
   
   Und i^i^i^i^i^^^^ konvergiert auffallenderweise gegen ~0,438282... + 0,36059i.
   Ein aktuell behandeltes Problem ist die Frage des "Funktions-Abbildung" der komplexen Zahlenebene "unter der Abbildung" der unendlich iterierten Potenzfunktion ("infinite hyperpower-function") in/auf sich selbst.
   Vielleicht hilft Roman auch die Kontaktaufnahme mit meinem Kollegen Armin Bantle im Matheforum der Bez.Reg. Düsseldorf weiter (aber bitte nur mit Hinweis auf mich als Quelle anschreiben!):
   [E-Mail-Adresse entfernt]"
   
   Falls Du an weiteren Erklärungen / Ausführungen dazu interessierst bist, kannst Du ihn anmailen unter [E-Mail-Adresse entfernt].
   
   Gruß Kubi
   

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