Hallo,
mal ne ganz blöde Frage: Wenn man die Exponentialfunktion mittels einer Potenzreihe definiert, dann ist doch exp(0) gar nicht definiert, weil dann das erste Glied 0^0 lautet und das ist nicht definiert.
Warum wird das überall verschwiegen?
Gruß
Oliver
Hallo Oliver,
man sollte sich nicht von der Summenschreibweise verwirren lassen. Gemeint ist stets die Potenzreihe
exp x = 1 + x + x^2/(2!) + ...
Um dies kompakter schreiben zu können, sagt man
0^0 := 1
und schreibt damit
exp x = sum_{n=0}^unendlich [x^n/(n!)].
Sonst müsste man viel länger schreiben:
exp x = 1 + sum_{n=1}^unendlich [x^n/(n!)].
Viele Grüße,
Martin
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0^0 := 1
Ja, ok mit dieser Festsetzung passt es.
Ich fand das halt nur merkwürdig, dass dieses 0^0:=1 nirgendwo, weder in Büchern noch auf Internetseiten, erwähnt wird, wo die Mathematiker doch sonst immer so genau sind.
Aber gut, wenn es so definiert wird... ok.
Hallo,
0! = 1 ist doch ein Axiom.
Gruß
Frank
Hallo Frank,
0! = 1 ist doch ein Axiom.
Nicht ganz. Ein Axiom ist eine Aussage, die man nicht beweist, weil sie "offensichtlich" ist. Oder, aus einer anderen Sicht betrachtet, weil man eine Art Fundament braucht, um das Gebäude der Mathematik darauf errichten zu können: Axiome sind Ausgangsaussagen, aus denen weitere Aussagen (Sätze) bewiesen werden.
Beispiele:
"Es gibt (mind.) eine Menge mit unendlich vielen Elementen."
"Wenn man eine beliebige Familie von unendlichen Mengen hat, kann eine weitere Menge gebildet werden, die jeweils genau ein Element mit jeder Menge aus dieser Familie gemeinsam hat."
Im Gegensatz dazu gibt es Definitionen, die letztlich nur Abkürzungen für gewisse Objekte, z.B. Elemente aus bestimmten Mengen sind. In diese Kategorie fällt etwa das Symbol 1. Es steht für das neutrale Element bezüglich der Multiplikation im Körper der reellen Zahlen
(d.h. 1 * x = x * 1 = x für jedes reelle x).
Eine andere Abkürzung für das gleiche Element ist 0!. Dies ermöglicht eben kompaketere Schreibweisen im Zusammenhang mit Fakultäten. Das obige ist also eine Definition, kein Axiom.
Eine weiteres Symbol für eben dieses Element ist auch 0^0. Diese Schreibweise beinhaltet also hier insbesondere keine "Rechenvorschrift" im üblichen Sinn! Anders definiert ist a^x mit einem a > 0. Dies ist eine Abkürzung für exp(x log a), wobei exp und log wieder Abkürzungen für etwas anderes sind (Abbildungen)...
Viele Grüße,
Martin
Huhu,
entgegen der hier gemachten Aussagen, ist 0^0 natürlich nicht definiert, wie man sich durch folgende Überlegungen leicht klar machen kann:
a) 0^x ist sicher definiert für x>0, und es gilt:
0^x = 0 für alle x>0
b) x^0 ist sicher definiert für x>0, und es gilt:
x^0 = 1 für alle x>0
Nach a) wäre 0^0 = 0 und nach b) wäre 0^0 = 1. Offenbar kann man also 0^0 nicht korrekt definieren!
Also: 0^0 = nicht definiert!
Der Wert der e-Funktion an der Stelle 0 ist durch Fall b) klar geregelt:
e^0 = 2.71828...^0 = 1
Viele Grüße
Stefan.
Hallo,
Nach a) wäre 0^0 = 0 und nach b) wäre 0^0 = 1. Offenbar kann
man also 0^0 nicht korrekt definieren!
a) und b) setzen x>0 vorraus. Ob in beiden Fällen ein Erweiterung für x=0 "gleich sinnig" wäre , ist noch die Frage. Ich halte die Def. von 0^0=1 allerdings auch für kontextabhängig. Bei der Summendarstellung der Expontialfunktion macht es Sinn. Erhalten bleibt auch a^(b*c)=(a^b)^c. Im selben Schritt würde man vermutlich auch 0/0=1 fordern, um a^(b+c)=a^b*a^c nicht zu verletzen.
Gruss
Enno
Huhu Enno :)
Das hat nichts damit zu tun, was wir für "sinnig" halten oder nicht. Es ist einfach so, dass
0^0 = lim (0^x) für x->0
und
0^0 = lim (x^0) für x->0
gilt. In beiden Fällen kommt für 0^0 ein unterschiedliches Ergebnis heraus. Deswegen kann man 0^0 auch nicht mal eben so definieren, nur weil es für eine bestimmte Rechnung besser passt.
Ich halte die Def. von 0^0=1 allerdings auch für
kontextabhängig.
Sie ist nicht kontextabhängig, sondern grundsätzlich unmöglich!
Viele Grüße
Stefan.
Hallo,
zunächst mal kann man 0^0 beliebig festlegen (mit evtl. unerwünschten Konsequenzen). Dein Argument zielt auf stetige Fortsetzbarkeit. Hierfür ist allerdings lim(x,y)->(0,0)xy=00 das Kriterium. Zugegebenermaßen existiert lim(x,y)->(0,0)xy nicht, wie man sich leicht mit den geeigneten Nullfolgen klarmacht. Man kann Funktionen allerdings auch unstetig fortsetzen. Hier wäre das Kriterium zur Beurteilung der Sinnhaftigkeit der Fortsetzung i.allg. welche wünschenswerten algebraischen Eigenschaften durch die Fortsetzung erhalten bleiben bzw. welche Widerwärtigkeiten durch sie entstehen. Für die Summendarstellung der Exponentialfunktion erscheint mir 0^0=1 sinnvoll zu sein. Die generellen Konsequenzen, die sich daraus ergeben überblicke ich z.Z. nicht vollständig.
Gruss
Enno
Hallo Stefan,
es ist auch an diesem Beispiel interessant zu sehen, wie unterschiedlich die Herangehensweise von Mathematikern und Physikern zu sein scheint.
Wie Enno schon festgestellt hat, ist prinzipiell eine Erweiterung einer Funktion kein Problem. Der Definitionsbereich wird um einen weiteren Punkt ergänzt und diesem wird schlicht ein Funktionswert zugeordnet. Es ist nett, wenn Stetigkeit erhalten bleibt, aber nicht mehr und nicht weniger. Üblicherweise wird daher in der Tat 0^0 := 1 und nicht = 0 definiert, weil es oft für viele Schreibweisen zweckmäßig ist, wenn a^0 = 1 stetig fortgesetzt auch für a = 0 gilt.
Dies hindert natürlich niemanden daran, in einem Kapitel eines Buches, einer Arbeit oder eines Artikels kurzfristig 0^0 = 0 zu definieren, wenn es die dort enthaltenen Schreibweisen verkürzt und die Sachverhalte leichter verständlich präsentiert. Dann muss diese Definition allerdings klar und deutlich dem ganzen vorangestellt sein, damit keine Missverständnisse auftreten. Denn üblich ist 0^0 = 1, ähnlich wie beispielsweise das leere Produkt stets 1 und nicht 0 (wie z.B. die leere Summe) ist.
Viele Grüße,
Martin
P.S. Wenn 0^0 üblicherweise überhaupt nicht definiert wäre, dürfte man übrigens auch - wie schon Oliver richtig festgestellt hat - z.B. die Exponentialreihe (aber auch andere) nicht über die Summenschreibweise definieren. Die kompakte Summenschreibweise ist den Mathematikern aber dann doch mehr wert, als die Stetigkeit der 0^x Funktion... ;-)
Nochmal: Es geht hier nicht um eine "Rechnung" für 0^0, sondern um eine Schreibweise (Hier vielleicht der Unterschied zwischen Physikern und Mathematikern: Die ersten betrachten Dinge/Resultate vielleicht als schon vorhanden und es gilt sie "nur" durch Rechnung, Betrachtung der Natur etc. zu finden. Viele Mathematiker sehen dagegen "ihre" Mathematik als ein von Menschen geschaffenes Gedankengebäude, das man den Bedürfnissen logisch sinnvoll anpasst...)