Summen von Potenzen
Von: , Frage gestellt am Mo, 4. Aug 2003
Christians geniale Idee der aufeinanderfolgenden Differenzbildung von Potenzen,
"DIFFERENZEN VON POTENZEN" -
kann man die vielleicht auch "umdrehen"?
Sicher hat die "Bestimmung" z.B. der3ten Potenzen etwas zu tun mit der "3ten Summe" einer Konstanten.
Aber wozu? Die 3ten Potenzen kann man doch viel einfacher berechnen!
Jaja, die 3ten Potenzen selbst!
Aber wenn man deren SUMME bilden will? Hat das nicht etwas mit der "4ten Summe" der entsprechenden Konstanten zu tun?
Zum Beispiel, auf einfacherer Stufe, Hochzahl 1:
Die Summe der Einheiten "1" von 1 bis n ist = n*1.
Also Summe{1},1<=m<=n, = n*1 = n.
Und wie groß ist die Summe der n? Also der natürlichen Zahlen selbst, ihrer "1ten Poztenzen"?
Ist nicht
Summe{m}1<=m<=n = Summe{n} = Summe{Summe{1}},1<=m<=n ??
Ja, aber wo findet man diese "SUMME{SUMME{}}"?
Was ist überhaupt eine Summe{Summe{}}, was ist eine "hte Summe der Einheiten"?
Na, im Pascalschen Dreieck! Kukts euch an!
Und/oder bildet diese selbst:
Die "0te Summe" der Einheiten ist konstant 1,1,1,1,1,...
Die "1te Summe" der Einheiten ist 1,2,3,4,5,...n.
Die "2te Summe" der Einheiten ist 1,3,6,10,15,...n.,
nämlich die "1te Summe der 1ten Summen"
Die "3te Summe" der Einheiten ist 1,4,10,20,35,...n.
Schaut euch das Pascalsche Dreieck an, wie diese Zahlen in welcher Reihenfolge dort auftreten!
Es scheint doch "die kte Summe von 1 bis zur Zahl n der Einheiten gleich ([n+j-1]überj) zu sein. (Muß natürlich auch bewiesen werden, mithilfe des Bildungsgesetzes des Pascalschen Dreiecks). Zum Beispiel ist (s.o) die "3te Summe der Einheiten) bis zur Zahl n = 5 = ([5+3-1]über3) = (7ü3) =
7*6*5/1*2*3 = 7*5 = 35.
Christian, ist dir diese Idee auch schon gekommen?
Der Schlüssel zu deinen "kten Differenzen der kten Potenzen = k!" war ja das Verschwinden der k+1ten Potenzen der kten Potenzen. Noch wunderlicher ist, daß man über die k+1ten Summen der Einheit zur Summe der kten Potenzen kommt! Ich war leider auswärts, als hier noilich die Frage nach den Potenzsummenformeln gestellt und u.a. der Hinweis auf die Gaußsche Methode für k=1 gegeben wurde.
Brüderliche Krüße mit Noigier auf eure Ideen,
Euer Manni
(Der die "Bernouillischen Zahlen" für matheamtische Hindernisse am eigenen Nachdenken hält!)