Hallo
Wie kann man die Koordinaten des dritten Punktes eines Dreiecks berechnen, wenn man die ersten beiden Punkte kennt und die Entfernungen dieser zum dritten Punkt?
Danke schonmal
Wie kann man die Koordinaten des dritten Punktes eines
Dreiecks berechnen, wenn man die ersten beiden Punkte kennt
und die Entfernungen dieser zum dritten Punkt?
Genauso wie man es konstruieren würde:
2 Kreisgleichungen aufstellen mit jeweils einem der Punkte als Mittelpunkt und dem Abstand als Radius - die beiden Kreise schneiden - Schnittpunkte: 2 Lösungen für den 3ten Punkt.
LG
Stuffi
Ja, ist mir schon klar. Ich bin bis jetzt aber immer in der Rechung steckengeblieben. Könntest du mir eine Formel geben? Der Rechenweg wäre auch nicht schlecht.
Moin,
Ja, ist mir schon klar. Ich bin bis jetzt aber immer in der
Rechung steckengeblieben. Könntest du mir eine Formel geben?
Der Rechenweg wäre auch nicht schlecht.
hört sich ja fast nach Hausaufgaben an:
gegeben A: (x1, y1) und B (x2,y2), Abstände a und b zum Punkt C
gesucht C: (x3, y3)
Abstand zweier Punkte (hier A und B): c = Wurzel( (x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2 )
Diese Gleichung ist statt für diesen Abstand für die bekannten Abstände a und b mit den bekannten Koordinaten x1,y1 bzw x2, y2 aufzustellen und in beiden Gleichungen tauchen x3,y3, die Koordinaten des Punktes C als Unbekannte auf:
a^2 = (x1-x3)^2 + (y1-y3)^2 und analog für b^2 = …
Eine Gleichung nach x3 auflösen und in die andere Gleichung einsetzen. Somit erhälst Du eine Gleichung mit einer Unbekannten, die eindeutig lösbar ist. Du wirst die pq-Formel für quadratische Gleichungen der Form
x^2 + px + q = 0 mit der im allgemeinen zweideutigen Lösung (eine mit +, die andere mit - gerechnet)
x = -p/2 +/- Wurzel( (p/2)^2 - q )
bekommen. Rechnen und Einsetzen mußt Du selbst.
Gruß,
Ingo
Hallo
Wie kann man die Koordinaten des dritten Punktes eines
Dreiecks berechnen, wenn man die ersten beiden Punkte kennt
und die Entfernungen dieser zum dritten Punkt?
Danke schonmal
Als Alternative zur Lösung von Ingo hier eine trigonometrische Variante:
Voraussetzung: Strecke b zwischen P1 und P3, Strecke a zwischen P2 und P3, Strecke c zwischen P1 und P2, Winkel alpha zwischen b und c
Außerdem Winkel zwischen c (von P1 nach P2) gegenüber X-Achse im Bereich +90 bis -90 Grad, also wenn x2>=x1.
Gegeben P1(x1,y1) P2(x2,y2), a,b
Gesucht P3(x3,y3) mit zwei Lösungen
- Berechne c= wurzel ((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)= Länge der Strecke zwischen P1 und P2
- Berechne w= arcsin ((y2-y1)/c) = winkel der Strecke c gegen X-Achse
- Berechne alpha = arccos((b^2+c^2-a^2)/(2bc))„Cosinussatz“
- des es zwei Lösungen des Problems gibt:
delta1 = w + alpha (Winkel zum Punkt P3(1) )
delta2 = w - alpha (Winkel zum Punkt P3(2) ) - Wenn m = x3 - x1 (=Abstand horizontal zwischen P3 und P1)
Wenn n = y3 - y1 (=Abstand vertikal zwischen P3 und P1)
m1 = b * cos (delta1) :damit ist m1 berechenbar
m2 = b * cos (delta2) :damit ist m2 berechenbar
- Da n = wurzel (b^2 - m^2)
n1 = wurzel (b^2 - m1^1) :damit ist n1 berechenbar
n2 = wurzel (b^2 - m2^2) :damit ist n2 berechenbar
- Da
m = x3 - x1
n = y3 - y1
daraus ergibt sich
x3(1) = x1 + m1
y3(1) = y1 + n1
und
x3(2) = x1 + m2
y3(2) = x1 - n2
Somit sind die Koordinaten von P3(1) = (x3(1),y3(1)) und P3(2) = (x3(2),y3(2)) berechenbar.
Viel Spaß
Moritz
numerische Methoden
Hallo
Wie kann man die Koordinaten des dritten Punktes eines
Dreiecks berechnen, wenn man die ersten beiden Punkte kennt
und die Entfernungen dieser zum dritten Punkt?
Danke schonmal
Wenn es einem zu umständlich oder aufwendig ist, das zugehörige Gleichungssystem zu bilden und aufzulösen, bieten sich noch numerische Methoden an.
Dies kann etwa wie folgt ablaufen:
A und B bezeichnen die beiden gegebenen Punkte und C den gesuchten mit entsprechenden Koordinaten ax,ay,bx,by,cx,cy und den Seiten AB,BC,AC.
Wenn dAC und dBC die gegebenen Entfernungen sind, werden alle Punkte mit entsprechender Entfernung von A und B wie folgt dargestellt:
(ax+dAC*cos(w1),ay+dAC*sin(w1)) bzw. (bx+dBC*cos(w2),by+dBC*sin(w2))
Dabei sind w1 und w2 als Parameter noch alle möglichen Kreiswinkel.
Wenn man nun nicht diese beiden Punkte gleichsetzen und das entsprechende Gleichungssystem auflösen will, bietet sich die Methode an, den Kreiswinkelparameter bei einem dieser Punkte so lange zu variieren, bis der Punkt zu beiden anderen Dreieckspunkten den gewünschten Abstand hat.
Entsprechende Algorithmen lassen sich leicht als Visual Basic Script erstellen und als vbs-Datei unter Windows mit entsprechenden Ausgaben starten.
Gerald