Wie lang ist die Spur einer CD?

Wissenschaft Physik
#1

Aufgabe

Die spiralförmige Spur einer CD beginnt innen bei ri = 23mm und endet außen bei ra = 56mm. Der mittlere Abstand der Spuren untereinander beträgt a = 0,0016mm.

Wie lang ist die Spur?

Sascha’s Ansatz

Einfach über den Radius integrieren: s = π(ra2 - ri2)/a. Da Cousine aber kein Plan von Integralen, Plan B…

Plan-B

Die Bogenlänge des mittleren Radius rm = ½(ri + ra) beträgt sm = 2πrm. Da sm-1 + sm+1 = 2sm (was noch irgendwie zu beweisen wäre… Vermutung, da s=2πr linear???), wären über [ri;ra] genau n = (ra - ri)/a konzentrische Kreise verteilt.

Daher ist die spiralförmige Spur die Summe aller Bogenlängen der Kreise s = n sm = 55118832,53mm ≈ 5,5km

2π ½(ri + ra) (ra - ri)/a = π(ra2 - ri2)/a

Daraus folgt: Plan-B ≠ Holzweg…

Vermutung

Sei rm der Radius eines Kreises und a aus R>0. Dann fehlt dem Kreis mit rm - a genau das Stück Bogen, das ein Kreis mit rm + a zuviel hat.

2π(rm-a) + 2π(rm-a) = 2( 2πrm) OK!

Aber leider muß ich dazu annehmen, daß die Bogenlänge einer Spirale, die bei ri = 1 beginnt und nach einer vollständigen Drehung bei ra = 2 endet, die selbe Bogenlänge wie ein Kreis mit rm = 1,5 hat …

Any Idea’s ???

PS: Wie wäre es den mit’n paar mehr (ungefährlichen) HTML-Tag’s? Ich denk da so
an , , , … Ausserdem stehen Tag’s wie: STRONG auf der Abschussliste!

#2

Hallo Sascha,

Einfach über den Radius integrieren:
s = π(ra2 - ri2)/a. Da Cousine aber kein Plan von Integralen

Plan von Integralen nicht erforderlich; einfachstes Nachdenken genügt. Die Spur nimmt die Fläche A = Spurbreite * Spurlänge in Anspruch, welche gleichzusetzen ist mit der Fläche, die auf der CD zur Verfügung steht, also π(ra2 - ri2):

Spurbreite * Spurlänge = π(ra2 - ri2)

==>

Spurlänge = π(ra2 - ri2)/Spurbreite

Gruß
Martin

PS: Die Mehrzahl von „Tag“ ist wirklich „Tags“, nicht „Tag’s“.

#3

Ganz einfach:
Hi,

fass doch die CD als eine Rolle auf, die mit einem Stoff der Dicke 0,0016 mm bewickelt ist.
Die Fläche des bespielten Bereiches der CD entspricht dann der seitlichen Fläche des abgewickelten Stoffes.
Das ist Schulmathe, Klasse 8.
Gruss,

#4

@Martin: Danke für’s Bäume fällen! Endlich sieht man den Wald auch wieder… :wink: Sorry!

@Helge: Gefällt mir noch besser. Ich hoff’ mal sie hatte schon Folgen… Bin mir eigentlich ziemlich sicher, daß sie genau das gerade machen. Ruf sie gleich mal an…

Schönen Sonntag noch Leude.

@Fremdsprache: If you fallin’ down the Kellertrepp’, you never see the Tageslicht again! Fremdsprachen waren irgendwie nie einer meiner Stärken.