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Re: Stochastik Probleme
Hi,
ich hoffe, Du stellst diese Aufgabe nicht, weil Du nur keine
Lust hast, Deine Mathe-Hausaufgaben selber auszutüfteln.
Sieh Dir die Lösung zur ersten Aufgabe an; wenn Du sie ver-
standen hast, sollte Dir das Schlachten der zweiten keine
Probleme bereiten. Die dritte Aufgabe bleibt Dir (oder einem
anderen Wer-Weiss-Was-Experten) überlassen.
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Lösung der ersten Aufgabe
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Wir schreiben zunächst einfach alle dreistelligen Zahlen mit
den Ziffern 1 bis 6, bei denen die erste Ziffer größer als die
zweite und die zweite größer als die dritte ist, auf diese Art
und Weise hin:
321
-----
1
421 431
----- 432
1 -----
2
521 531 541
----- 532 542
1 ----- 543
2 -----
3
621 631 641 651
----- 632 642 652
1 ----- 643 653
2 ----- 654
3 -----
4
Das Anordnungsschema ist klar erkennbar, und deshalb wird nie-
mand bezweifeln, daß wir auch alle Zahlen mit den geforderten
Eigenschaften erfaßt haben.
Die Zahl unter den waagerechten Strichen unter den Blöcken
gibt natürlich an, wieviele "Mitglieder" der betreffende Block
hat. Die Summe dieser Zahlen ist die Antwort auf die Frage
der Aufgabe - sie lautet "20", denn
1 + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20 (1)
Nun liegt natürlich die Frage nahe, wie die allgemeine Lösung
lautet, wenn man Zahlen mit Ziffern von 1 bis z betrachten will,
wobei 3 logischerweise die Untergrenze für z ist.
Um sie zu beantworten, bringen wir zunächst den Ausdruck (1),
der ja dem Fall z=6 entspricht, in eine etwas andere Form,
nämlich:
(1) = Sum(k=1..1) k
+ Sum(k=1..2) k
+ Sum(k=1..3) k
+ Sum(k=1..4) k
= Sum(i=1..4) (Sum(k=1..i) k)
Der Übergang zu allgemeinen z ist jetzt ganz leicht zu bewerk-
stelligen - wir müssen nur die 4 durch z-2 zu ersetzen! (Klar?)
Die Anzahl der Möglichkeiten in Abhängigkeit von z beträgt also
Sum(i=1..z-2) (Sum(k=1..i) k) (2)
Um den Audruck auszurechnen, beginnen wir bei der "inneren"
Summe (also der k-Summe). Wir verwenden die Formel
Sum (l=1..n) l = 1/2 n (n+1) (3)
die in jeder Formelsammlung zu finden ist und mittels vollstän-
diger Induktion bewiesen werden kann. Damit folgt:
(2) = Sum(i=1..z-2) (1/2 i (i+1))
= 1/2 Sum(i*1..z-2) (i^2+i)
= 1/2 (Sum(i*1..z-2) i + Sum(i*1..z-2) i^2)
Es gilt (ebenfalls Formelsammlung/vollständige Induktion):
Sum (l=1..n) l^2 = 1/6 (n+1) (2n+1) (4)
Außer (4) verwenden wir noch einmal (3) und erhalten schließ-
lich nach allen Vereinfachungen das Endresultat
1/12 (z-2) (z-1) (2z-3) + 1/4 (z-2) (z-1) (5)
Hinzuzufügen wäre noch, daß dieser Ausdruck trotz der Bruch-
faktoren "1/12" und "1/6" garantiert immer ganzzahlig ist.
Für z=6 liefert (5) tatsächlich 20 als Ergebnis.
Hier noch die Werte für alle z von 3 bis 9:
z=3 -> Es gibt genau eine Möglichkeit (nämlich "321")
z=4 -> Es gibt 4 Möglichkeiten
z=5 -> Es gibt 10 Möglichkeiten
z=6 -> Es gibt 20 Möglichkeiten
z=7 -> Es gibt 35 Möglichkeiten
z=8 -> Es gibt 56 Möglichkeiten
z=9 -> Es gibt 84 Möglichkeiten
Viel Spaß beim Lösen der 2. Aufgabe wünscht
Martin
