Ich würde so gerne mal wissen, wozu so etwas gut ist. Ich habe versucht, diesen Kram zu verstehen, aber mir fehlt der Zugang. Ich weiß einfach nicht, warum man so etwas braucht.
Also: Wenn es hier jemanden gibt, der mir erstens den Sinn und Zweck der Sache erklären kann und dann daraus logisch noch aufbauen kann, wie das ganze zu verstehen ist, dann wäre ich überglücklich.
Schon mal vielen Dank im Vorraus.
Ich würde so gerne mal wissen, wozu so etwas gut ist. Ich habe
versucht, diesen Kram zu verstehen, aber mir fehlt der Zugang.
Ich weiß einfach nicht, warum man so etwas braucht.
Hi Trail,
sowas brauchen eigentlich nur Leute, die tiefer in die Mathe einsteigen.
Die Additionstheoreme sind eine kleine Formelsammlung, die bei der Umformung realer Probleme in brauchbare Ergebnisse sehr hilfreich sind.
Sowas gibt es in der Mathe ja in anderen Zusammenhängen auch: Binomische Formeln, Potenzgesetze, Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz, Punkt vor Strich, …
So richtig der Knaller werden die trigonometrischen Additionstheoreme jedoch erst in Studiengängen wie zB. Mathe, Physik, E-technik.
Gruss,
Ich würd’ sagen, der Maurer braucht es nicht, aber z.B. der Physiker, weswegen es verschiedene Berufe gibt.
Trigonometrie (also die Metrie der drei Winkel = Dreiecke) kommt, wie der Name sagt, aus der Berechnung in Dreiecken. Da hat man Seitenlängen und Winkel, und die Sinus und Cosinusfunktionen berechnen zB die Länge der Katheten in rechtwinkligen Dreiecken. Das ist durchaus etwas, was der Zimmermann oder Architekt dann schon mal brauchen kann. Die Additionstheoreme sagen nun, wie man zB sin(a+b) anders schreiben kann, so dass nur noch sin und cos von alleine a oder b dasteht. Es gibt Berechnungen, wo man nur zB eine Gesamtstrecke gegeben hat und verschiedene Winkel a und b, und man muß nach a oder b auflösen.
Das war sehr allgemein gehalten, hoffe es half dennoch etwas
Gruß
Moriarty
Additionstheorem Trigonometrie
Hallo, trail, helge und Moriarty,
ohne Angst, durch „trivial-angewandte Kenntnisse“ wieder auffe Nerven zu gehen: am mächtigsten schlug eine bestimmte Variante der Additionstheoreme über dem Motor im Bus brummend als „Knaller“ bei mir und meinen Froinden ein.
Halt stop, lieber MOD! Bitte erst zuende lesen vor einem eventuellen vorailigen Löschen aus "orthographischen Gründen!
Ich brauche die WortSPIELE, um die trockene Mathematik/Physik selbst besser verdauen, zerdauen und für oich erdauen zu können, und die Tatsache, daß ich das folgende Phänomen hier im Forum (offensichtlich aber nur unverständlich) vor kurzem schon einmal erlautert habe!
Dort im Bus, also nicht allzuweit hinter dem Fahrer (da befindet sich unten der Motor) „vor sich hin brummen“, und zwar in etwa (aber nicht genau!) die Tonlage (Frequenz) des Motors treffend, möglichst auch nicht zu leise brummen (bloß nicht wundern über die staunenden Augen der Leute umzu und den Ruf nach den „weißen Kitteln“), und jeder erlebt die Additionstheoreme „in schwebender Lebendigkeit“: Eine Art vibrierender Resonanz, physikalisch „Interferenz“, aber konkret als „Schwebung“, ein Gefühle, als wenn man das Motorbrummen „im Griff hat“, oder andersrum, uns der Motor im Griff hat.
Und woraus/worin resultiert das?
Man "hört in sich, bzw zwischen sich und dem Motor, „im Duett“ eine „3te Tonlage“, einen „Bewegung“ des Tones, die selbst in der Differenzfrequenz „schwebt“/„klingt“.
Konkret: klingt der Motor sagen wir mal in 200Hertz, wir selbst aber in 199Hertz, so schwebt der „gemeinsame Ton“ in (akustisch unhörbarem) 1Hertz. man kann es aber wahrnehmen als „Vibrieren des gemeinsamen Tones“, physikalisch „Schwebung“ genannt.
Mathematisch kann man ja Töne als Sinus-wellen darstellen:
T(t) = sin(µ*t), wo µ die Tonfrequenz ist;
je höher µ, desto höher der Ton.
Überlagern sich nun zwei Töne mit den Frequenzen µ1 und µ2, dann hat man also die Summe sin(µ1*t) + sin(µ2*t), die sich aufgrund der Additionstheoreme „addiert“ zu
(1/2)*sin([µ1*t+µ2*t]/2)*cos([µ1*t-µ2*t]/2) =
(1/2)*sin(t*[µ1+µ2]/2)*cos(t*[µ1-µ2]/2),
was ja einen (leider, im Prinzip, nur halb so lauten, aber etwa doppelt so hohem) Grundton mit Summen-Frequenz (unterm Sinus) darstellt, der „moduliert“ wird in eben der Differenzfrequenz.
Da sich Sinus- und Cosinuswellen nur durch den (ja unhörbaren) Phasenunterschied pi/2 = 180° unterscheiden, spielt hier das Auftreten von Sinus UND Cosinus keine Geige!
Ich bin gerade mit meiner Freundin am Testen, ob das auch als „sich gegenseitig anbrummen“ funktioniert. Das könnte man dann äußerst „spielerisch-enaktiv“ und daher „pädagogisch und didaktisch wertvoll“ zusammen mit einer ganzen Schulklasse durchführen!!!
Ich bitte euch alle herzlichst, das wirklich einmal im Bus (oder auch im eigenen Auto) durchzuführen (im Auto sehens ja nur wenige andere, nur ein Goggomobilmotor „geht“ vielleicht nicht). Echt erstaunlich! (wer überhaupt noch staunen kann heutzutage!)
Herleitung der obigen Summenformel:
Ihr kennt wohl die „normalen Additionstheoreme“:
sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + sin(b)*cos(a) bzw
sin(a-b) = sin(a)*cos(b) - sin(b)*cos(a)
cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b) bzw
cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b),
die sich auf mindestens 2 Wegen ergeben, aus Betrachtungen am nicht-rechtwinkligen Dreieck mithilfe des Cosinussatzes und auch über die (komplexen) Eulerschen Formeln.
Addiert man die ersten beiden obigen Formeln, so erhält man ja:
sin(a+b) + sin(a-b) = 2*sin(a)*cos(b) und mit
a+b = c und a-b = d, also a=(c+d)/2 und b=(c-d)/2,
erhält man ja
sin© + sin(d) = 2*sin(c+d)*cos(c-d), wzzw.
Die von Helge angesprochene Bedeutung der Additionstheoreme für die „höhere“ Mathematik und alle „komplex-relevanten“ Anwendungsbereiche stellt sich schon bei der Herleitung
des „Satzes von Moivre“ und der „Eulerschen Formeln“
(in der auffallendsten Form: e^[i\*pi] = -1)
auf elementarem Wege ein, wenn man nämlich zur Herleitung nicht den üblichen Vergleich der Potenzreihen nimmt oder Gesetze der Integralrechnung, sondern wenn man die Drehung in der „komplexen Zahlenebene“ als (unendliche) Potenz der infinitesimalen (Teil)Drehungen betrachtet und berechnet, als lim{(a+i*b/n)^n},n–>oo mit a^2+b^2 = 1.
Siehe dazu auch den früheren Thread hier zum Thema „Herleitungen der Eulersche Formeln“, so ca vor einem Jahr, bevor ich das erstemal strafausgeloggt wurde.
Liebe Grüße, Elfriede (Elli) Eller mit den 50 tü[r]ckischen Händen
tausend dank, aber…
also, erst einmal ein großes Dankeschön für die große Mühe. Aber ich gehöre wohl zu den ganz doofen. Ich hab das immer noch nicht kapiert. Und inzwischen sind da noch andere Probleme aufgetaucht. Darum habe ich jetzt noch mal genau formuliert (zumindest versucht), was mir Kopfzerbrechen bereitet:
Also,
jetzt bräuchte ich mal Hilfe bei einem für mich völlig unverständlichen Thema (siehe oben).
Gemeint sind folgende:
cos(a+ß)=cosa+cos?-sina+sinß
cos(a-ß)=cosa+cosß+sina+sinß
und das Umgekehrte mit Sinus (a soll natürlich für alpha stehen)
Was sollen die? Wozu benutzt man so was? Wie wendet man die an? Also: null Ahnung von nichts.
Dann noch folgendes:
cos2a=cos a+cos a-sin a+sin a=cos²a-sin²a
Bis dahin kann ich das ja noch einigermaßen nachvollziehen. Aber dann steht im Buch:
Wegen sin²a +cos²a=1 folgt hieraus
cos2a=1-2+sin²a=2*cos²a-1
Wieso denn das??? Und wozu ist das nun wieder gut?
Und wie kommt man zu folgendem:
cos3a=4+cos³a-3cos a
bzw.
sin3a=3+sin a - 4*sin³a
Und wozu ist das nun wieder gut.