hallo zusammen, vielleicht kann mir ja jmd helfen.
Leider beisse ich mir grade an einer AUfgabe die Zähne aus, die glaube ich gar nicht so schwer ist. ich habe folgenden term:
ax²+bx+c=0
ich soll x bestimmen.
alle Variablen sind von den Reelen Zahlen
wenn ich die gleiche Aufgabe habe, nur anstatt von den reelen Zahlen sind alle aus den KOmpl. Zahlen, was kommt da raus
liebe grüße
Beim Übergang von den reellen zu den komplexen Zahlen werden aus "eingliedrigen" (eindimensionalen) Zahlen "zweigliedrige" (zweidimensionale Zahlen). Diese haben nun die Form
a = a1 + a2 * i
b = b1 + b2 * i
c = c2 + c2 * i
x = x1 + x2 * i
Sogar die Null wird komplex:
0 = 0 + 0 * i
Die nunmehr komplexe Gleichung
ax²+bx+c=0
stellt eigentlich ein Gleichungssystem dar, denn jede einzelne Variable besteht nun aus zwei Komponenten (bzw. zwei Gliedern, zwei Dimensionen).
Die gesuchten komplexen Lösungen x = x1 + x2 * i
können gefunden werden, indem zwei eindimensionale Gleichungen für die beiden Komponenten aus der komplexen Gleichung extrahiert werden.
Dazu werden folgende Schritte gemacht:
(a1 + a2 * i) * (x1 + x2 * i) * (x1 + x2 * i)
+ (b1 + b2 * i) * (x1 + x2 * i)
+ c1 + c2 * i
= 0 + 0 * i
ist zunächst die ausführliche Form der komplexen quadratischen Gleichung.
Nun sind die Rechengesetze für komplexe Zahlen zu beachten, so wie sie definiert sind; insbesondere i * i = - 1.
Bei der entstehenden vielgliedrigen Gleichung werden dann alle Glieder ohne i summiert und = 0 gesetzt. Ebenso werden alle Glieder mit i summiert und = 0 gesetzt.
Das entstehende Gleichungssystem hat eine Lösungsmenge L = {(x1,x2)}.
Die Beschaffenheit von L hängt von den Parametern a, b und c ab.
Beim Aufstellen einer allgemeinen Lösung muss bei Umformungen darauf geachtet werden, dass nicht durch 0 dividiert wird oder mit 0 multipliziert wird.
Alle komplexen Zahlen x mit x = x1 + x2 * i sind dann Lösungen der komplexen Ausgangsgleichung ax²+bx+c=0.
Torsten
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wenn ich die gleiche Aufgabe habe, nur anstatt von den reelen
Zahlen sind alle aus den KOmpl. Zahlen, was kommt da raus
Nimm' die p/q-Formel und tu' so, als wären die Zahlen alle reell. Dann bekommst du Lösungen der Form -p/2 +/- sqrt(p^2/4 - q), wobei p und q komplex sind. Auch aus komplexen Zahlen kann man Wurzeln ziehen, da die Menge der komplexen Zahlen algebraisch vollständig ist.
Wenn du eine Form Lösung = r + s * i haben willst, mußt du die Wurzeln aus den komplexen Zahlen umwandeln in reelle Wurzeln. Das geht am einfachsten über den Umweg der Exponential-Darstellung der komplexen Zahlen.
Chris
