Strecke zwischen einem Punkt und einer Gerade
Von: , Frage gestellt am Sa, 1. Apr 2000
Wie läßt es sich beweisen, dass das Lot von einem Punkt zu einer Geraden, automatisch auch die geringste Entfernung zwischen dem Punkt und der Geraden ist?
4 Antworten zu dieser Frage
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Re: Strecke zwischen einem Punkt und einer Gerade
Wie läßt es sich beweisen, dass das Lot
von einem Punkt zu einer Geraden,
automatisch auch die geringste Entfernung
zwischen dem Punkt und der Geraden ist?
Mache Dir eine Minimierungsaufgabe daraus. Abstand als Funktion von Punkten auf der Geraden. Dann minimieren. Schwupps ... fertig.
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Re: Strecke zwischen einem Punkt und einer Gerade
Hi Benedikt,
der Beweis, welcher mir im Moment einfällt, ist mit einer Menge Schreibaufwand verbunden. Ich will nicht ausschließen, dass es auch eleganter geht, z.B. über die Hessesche Normalform.
Die Gerade sei in der Punkt-Richtungsform gegeben (Die Vektoren müßten eigentlich transponiert geschrieben werden, ist mir hier aber zu kompliziert):
g:(x,y): (x0,y0)+k*(x1,y1)
Der Punkt sei (x2,y2)
Der Abstand zwischen einem Punkt der Geraden und (x2,y2) ist gegeben durch
|| (x2,y2)-[ (x0,y0)+k*(x1,y1)] ||
Das ausrechnen der Euklidischen Vektornorm führt auf eine Wurzel, unter welcher eine Summe von Quadraten steht. Die Entfernung ist am geringsten, wenn dieser Ausdruck minimiert wird. Wegen der Monotonie der Wurzelfunktion kannst Du auch den Radianten minimieren, was Dir die Wurzel einspart. Notwendig für ein Minimum ist, dass
d/dk || (x2,y2)-[ (x0,y0)+k*(x1,y1)] ||^2
verschwindet. Diese Bedingung ist auch hinreichend, da es ein Maximum nicht geben kann. Zu jedem Punkt auf der Geraden kann ich einen finden, der noch weiter entfernt ist.
Ausrechnen und Nullsetzen führt auf:
k= -(x0x1 - x1x2+y1(y0-y2))/(x1^2 + y1^2)
Jetzt muß nur noch gezeigt werden, dass genau in diesem Fall die Verbindungslinie des Punkts auf der Graden zum Punkt (x2,y2) senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden steht. Dieses ist der Fall, wenn das Skalarprodukt (Innenprodukt)
(x1,y1) * [(x2,y2)-[ (x0,y0)+k*(x1,y1) ]] = 0
ist. Wenn Du jetzt das oben ermittelte k einsetzt, ergibt sich genau die gewünschte Aussage.
q.e.d
Gruß
Ted
Wie läßt es sich beweisen, dass das Lot
von einem Punkt zu einer Geraden,
automatisch auch die geringste Entfernung
zwischen dem Punkt und der Geraden ist?
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Re: Strecke zwischen einem Punkt und einer Gerade
Wie läßt es sich beweisen, dass das Lot
von einem Punkt zu einer Geraden,
automatisch auch die geringste Entfernung
zwischen dem Punkt und der Geraden ist?
Hallo
Zeichne einen Kreis um den Punkt welcher durch den Schittpunkt des Lotes auf der Geraden geht.
Die Gerade ist nun eine Tangente und berührt den Kreis in genau einem Punkt.
Alle kürzeren Strecken sind nun INNERHALB der Kreislinie.
Der Rest sollt doch jetzt klar sein.
MfG Peter(TOO)
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Antwort von nach einem Tag hilfreich
Eindeutig die beste Erklärung...
...Kompliment!
mfg!
BStefan
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