Hallo, hat da jemand eine Idee?
Man soll alle Lösungen bestimmen:
-x + e_hoch_(-x)= 1
Ich habe schon mit ln versucht, aber ich komme auf keine Lösung. Ich weiss aber, dass eine Lösung x=0 ist. Ob das die einzige ist, kann man nur nachweisen, wenn man die Gleichung oben lösen kann.
Danke.
Hallo, needhelp,
Man soll alle Lösungen bestimmen:
-x + e_hoch_(-x)= 1
diese Gleichung löst man quasi unkonventionell ;-)
Also: x=0 ist eine Lösung.
Wenn ich den Graph der Funktion -x + e^{-x}
plotte, hoffe ich, daß die Kurve die Linie y=1 (also eine Gerade parallel zur
x-Achse, die auf der Höhe y=1 liegt) nur einmal schneidet. Das
hieße, -x + e^{-x} wird nur einmal gleich 1 und damit wäre x=0 die einzige
Lösung.
Wie erfahre ich, daß die Kurve die Linie y=1 nur einmal schneidet? Beispielsweise zeige ich, daß die Kurve streng monoton steigt über alle x
oder streng monoton fällt über alle x. Das wiederum sehe ich daran,
ob die Ableitung stets positiv bzw. stets negativ ist. Also:
(-x + e^{-x})' = -1 - e^{-x}
tatsächlich: da e^{reelle Zahl} stets positiv, ist -1 - e^{-x} stets negativ.
Die Kurve -x+e^{-x} ist für alle x monoton fallend. Die Kurve fällt damit
genau einmal durch den Wert y=1. Damit haben wir *alle* Lösungen
der Aufgabe gefunden, nämlich nur die eine glücklich erratene Lösung x=0.
Wenn es mit Standardversuchen (wie ln o.dgl.) nicht geht, muß man seine
Überlegungen möglicherweise eng an die Aufgabenstellung anpassen. In diesem
Fall hat eine Monotoniebetrachtung zum Erfolg geführt.
Bei der Gleichung x - sin x = 0 (heißt Kepler-Gleichung, glaub ich) reicht eine
Monotoniebetrachtung allein nicht; die Eindeutigkeit der
Lösung x=0 bekommt man erst, wenn man weiß, daß sin x im Betrag nicht größer
als 1 wird.
Hoffe, etwas geholfen zu haben!
Gruß
Stefan