Problem zur Mengenlehre nach Cantor
Von: , Frage gestellt am So, 11. Jan 2004
Hallo!
Ich beschäftige mich gerade aus Spaß an der Sache mit der Mengenlehre nach Cantor. Dabei bin ich auf ein Mysterium gestoßen (jedenfalls im Rahmen meiner momentanen Begriffswelt wirkt es wie ein Mysterium):
Um den Satz von Cantor-Bernstein zu beweisen wurde in dem mir vorliegenden Buch zunächst bewiesen, dass für zwei Mengen N' und M gilt |N'|=|M| falls |N|=|M| wenn N, N' und M in der Beziehung N<=N'<= M stehen (<= soll "ist Teilmenge von" bedeuten). Das Problem ist nicht der Beweis, sondern ein grundlegendes Verständnisproblem meinerseits: Ich denke mir ständig, wenn gilt N<=M und |N|=|M| dann muss N=M gelten. Ganz offensichtlich ist das nicht der Fall, ansonsten wäre der Beweis dieses Satzes sinnlos.
Was ich suche ist also ein Beispiel für |N|=|M| und N<M - also einen Fall wo N echte Teilmenge von M ist und ihre Mächtigkeiten dennoch übereinstimmen. D.h., es müssen Funktionen f und g existieren, wobei f N injektiv auf M abbildet und g M injektiv auf N abbildet. Nach dem Satz von Cantor-Bernstein existiert dann ein bijektives h, das N auf M abbildet (bzw. M bijektiv auf N abbildet), womit |N|=|M| bewiesen wäre.
In einer Übung glaube ich nun auf einen solchen Fall gestoßen zu sein. Da aber für die Übungen keine Lösungen existieren, müsste ich mich darauf verlassen, dass meine Beweisführung korrekt ist. Da ich nicht allzu fest auf meine math. Fähigkeiten vertraue wüßte ich von euch schlauen Mathematikern also gerne ob meine Beweisführung korrekt ist, womit sich ein solch (zumindest für mich) paradox anmutender Fall tatsächlich praktisch ergeben hätte:
Aufgabe: I={x ist Element der reelen Zahlen | 0<x<=1}, R={x ist Element von I | die ersten 100 Nachkommastellen (in kanonischer Darstellung) von x sind 0,1,2 oder 3}
Meine Lösung:
(ich gehe stets davon aus das die 0 Element der natürlichen Zahlen ist)
Jedes Element von I läßt sich folgendermaßen darstellen:
0,a1a2a3...an999...
Dabei gilt:
n ist Element der natürlichen Zahlen,
ai ist Element der natürlichen Zahlen,
0<=ai<=9,
1<=i<=n,
i ist Element der natürlichen Zahlen.
Jedes Element von R läßt sich folgendermaßen darstellen:
0,b1b2b3...b100a1a2a3...an999...
Dabei gilt:
bi ist Element der natürlichen Zahlen,
0<=bi<=3,
1<=i<=100,
i ist Element der natürlichen Zahlen,
n ist Element der natürlichen Zahlen,
aj ist Element der natürlichen Zahlen,
0<=aj<=9,
1<=j<=n,
j ist Element der natürlichen Zahlen.
Dann existiert die injektive Funktion f:
f: R -> I,
wobei f(0,b1b2b3...b100a1a2a3...an999...)=0,a1a2a3...an999...
Dann existiert außerdem die injektive Funktion g:
g: I -> R,
wobei f(0,a1a2a3...an999...)=0,b1b2b3...b100a1a2a3...an999...
wobei bei g die Werte b1 bis b100 beliebig sein dürfen (natürlich aus der Menge {0,1,2,3}).
Das würde bedeuten, eine ganz konkrete Lösung für g könnte auch so aussehen:
g: I -> R,
wobei f(0,a1a2a3...an999...)=0,0...0a1a2a3...an999...
wobei die 0 genau hundert mal zu Beginn nach dem Komma auftaucht -> also alle bi sind 0.
So wie ich es verstehe würde es mit JEDER Kombination von bi's funktionieren. Und das finde ich gelinde gesprochen paradox. Deswegen liegt die Vermutung nahe das ich irgend etwas nicht verstanden habe. Vielleicht kann jemand helfen?
Wenn man jedenfalls annehmen würde, dass alles soweit korrekt ist, würde hiernach gelten: Da f und g existieren, existiert auch ein bijektives h: I -> R, womit gilt: |I|=|R|.
Eine mögliche Schwäche dieser Überlegung sehe ich darin, dass ich von der Korrektheit des Satzes von Cantor-Bernstein ausgehe.
Florian