Hallo,
Welche Kugel kommt eher unten an? Warum?
Die Volle Kugel ist schneller.
Grund:
Die Energie, die die Kugel aufnimmt verteilt sich in kinetische Energie und Rotationsenergie. Da bei der Hohlkugel die Massen weiter außen sind, muss man mehr Energie in die Rotation hineinstecken. Folglich bleibt weniger kinetische Energie für die Vorwärtsbewegung übrig und die Kugel rollt langsamer.
Gruß
Oliver
Hallo,
Welche Kugel kommt eher unten an? Warum?
Die Volle Kugel ist schneller.
Grund:
Die Energie, die die Kugel aufnimmt verteilt sich in
kinetische Energie und Rotationsenergie. Da bei der Hohlkugel
die Massen weiter außen sind, muss man mehr Energie in die
Rotation hineinstecken. Folglich bleibt weniger kinetische
Energie für die Vorwärtsbewegung übrig und die Kugel rollt
langsamer.
Um Irrtümern vorzubeugen, bleibt hinzuzufügen, daß beide Kugeln die selbe Geschwindigkeit haben, wenn sie unten angekommen sind.
Cu Rene
Hallo Rene,
Um Irrtümern vorzubeugen, bleibt hinzuzufügen, daß beide
Kugeln die selbe Geschwindigkeit haben, wenn sie unten
angekommen sind.
mhh, kann es sein, daß Du hier einem Irrtum unterliegst? Ich habe gerade ausgerechnet, daß die Vollkugel unten 5/21 sqrt(21) = 1.091089… mal so schnell ist wie die Hohlkugel.
Energiesatz: Wpot + Wkin = const.
~
==\> Wpot(start) + Wkin(start) = Wpot(end) + Wkin(end)
~
==\> Wpot(start) - Wpot(end) = Wkin(end) - Wkin(start)
~
Mit
~
Wpot(start) - Wpot(end) = m g h
Wkin(end) = 1/2 m v^2 + 1/2 J w^2
Wkin(start) = 0
~
und der "Kugel-rollt"-Zwangsbedingung v = w R (w = omega, R = Kugelradius) folgt:
~
m g h = 1/2 m v^2 + 1/2 J w^2
~
m g h = 1/2 m v^2 + 1/2 k m R^2 w^2
~
g h = 1/2 v^2 + 1/2 k v^2
~
g h = 1/2 v^2 (1 + k)
~
v = sqrt(2 g h / (1 + k))
~
Für eine Vollkugel ist J = 2/5 m R^2 ==\> k = 2/5
Für eine Hohlkugel ist J = 2/3 m R^2 ==\> k = 2/3
~
==\> v[Vollkugel]/v[Hohlkugel] = ... = sqrt(25/21) = 5/21 sqrt(21)
Oder sehe ich da was falsch?
Mit fragendem Gruß
Martin
Hallo René,
um Martins Antwort (dessen Rechnung ich aber gar nicht angeschaut habe) beizupflichten und verständlich zu machen:
Zwar fallen alle Körper gleich schnell, aber das gilt nur als Folgerung aus der Äquivalenz schwere Masse = träge Masse und aus F = m_träg * a = m_grav * g, wobei a die kinematische Beschleunigung ist. Die Körper müssen punktförmig sein.
Wenn die Gravitationskraft F aber auf einen ausgedehnten Körper wirkt, dann in obiger Weise auf die einzelnen Massenpunkte; da die Massenpunkte aber miteinander verbunden sind (also: starrer Körper), macht das Schwerefeld auch ein Drehmoment und investiert Energie nicht mehr in die Translation allein, sondern auch in die Rotation. Bei einer Hohlkugel ist der rotative Anteil höher als bei einer Vollkugel (wie Oliver sagt), darum bleibt für die Translation weniger übrig -> die Hohlkugel ist langsamer als die Vollkugel.
Gruß
Stefan
Hallo,
ich moechte die Diskussion gerne weiterfuehren:
Und wie siehts aus bei zwei unterschiedlich beladenen Fahhraedern gleicher Art, die eine schiefe Ebene hinabrollen? Die Raeder, also die Teile, denen Rotationsenergie zugefuegt wird, sind identisch. Aber die Gesamtmasse des Fahrrads ist unterschiedlich.
Unter Vernachlaessigung von Reibung rollen beide Raeder gleich schnell, oder?
Aber wie siehts aus, wenn man Reibung mit einrechnet?
Gruss,
Peter
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Einfürallemal
Hallo
Die Formel für die Endgeschwindigkeit h eines Objekts der
Masse m, dass eine schiefe Ebene der Höhe h herunterrollt und
dabei irgendwelche Räder (oder der sich seblst) mit Radius r
und Trägheitsmoment J in Rotation versetzt lautet:
2gh
v²= ----------
J
1+-----
mr²
Damit sollte eigentich alles klar sein.
Gruß
Oliver
Hallo,
o.k., bei Vernachlaessigung der Reibung verhalten sich die beiden Fahrraeder also doch nicht gleich. Es kommt auf das Verhaeltnis von J/r^2 zu m an.
Zwei neue Fragen fuer den Fall mit Reibung:
a) Sei J/r^2 viel kleiner als m, sodass wir diesen Term vernachlaessigen koennen. Welches Fahrrad faehrt schneller bergab?
b) Wie sieht es aus bei Koerpern, die nicht rollen, sondern gleiten, etwas ein Skifahrer oder ein Skibob? Brint da mehr Masse (bei gleicher Form) etwas?
Gruss,
Peter
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Hallo,
Zwei neue Fragen fuer den Fall mit Reibung:
a) Sei J/r^2 viel kleiner als m, sodass wir diesen Term
vernachlaessigen koennen. Welches Fahrrad faehrt schneller
bergab?b) Wie sieht es aus bei Koerpern, die nicht rollen, sondern
gleiten, etwas ein Skifahrer oder ein Skibob? Brint da mehr
Masse (bei gleicher Form) etwas?
Na, in diesen beiden Fällen muss einfach nur J=0 einsetzen
und erhält v²=2gh. Also ist v unabhängig von der Masse.
Gruß
Oliver
Fall mit Reibung war diesesmal gemeint
Hallo,
danke fuer die prompten Antworten!
Ich meinte diesesmal den Fall mit Reibung (wie in der ersten Zeile geschrieben).
Mich interessiert einfach, ob ich meinen Kumpels beim bergabradeln alle Rucksaecke abnehmen soll, um schneller fahren zu koennen, bzw. ob ich die Ausrede meiner Freundin entkraeften kann, sie koenne auf Ski nicht so schnell Schuss fahren wie ich, weil sie weniger wiege.
Gruss,
Peter
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Hallo Peter,
ja, Deine Freundin ist gewitzt!
Um den Fall mit Reibung zu behandeln, muß man genauer sagen, welche Art von
Reibung mit welchen Materialien vorliegt.
Beim Ski- und beim Bobfahren ist es die Gleitreibung auf
Schnee/Eis. Festes Wasser wird flüssig, wenn es unter Druck gesetzt wird (H20 hat um 273 K herum sowieso ein ziemlich irreguläres Verhalten, von wegen 4° C und so).
Das bedeutet in der Wettkampfpraxis bei Bobfahrern, daß ein vollbesetzter Bob
**unterhalb** eines Maximalgewichts bleiben muß. Man schummelt, wenn man heimlich Sand- oder Rucksäcke irgendwo verstaut.
Unter den Kufen entsteht durch den höheren Druck ein zusätzlicher Wasserfilm.
Das ist beim Skifahren der Fall. Beim Radeln vermute ich hingegen, daß durch die höhere Masse der diversen Rucksäcke, die Du für Deine Freunde schulterst, die Rollreibung wie erwartet zunimmt - es sei denn, man pumpt die Reifen extra noch einmal auf, so da0 der zusätzliche Überdruck die höhere Masse abfedert (und dann platzt nach dem Absteigen der Schlauch…).
Gruß
Stefan
Danke euch beiden,
…
man sollte wohl doch erst mal etwas genauer nachdenken, bevor man eine Meinung von sich gibt.
Cu Rene