EILanfrage zum Gauss-Alg. mit 'r' und 'k'

Wissenschaft Physik
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guten tag
ich bitte um hilfe bei folgenden fragen, die mal
prüfungsrelvant waren, jedoch durchaus morgen (!!) in anderer
form ereilen können:

für welches „r“ ist das GLS lösbar?

x-y+z=2
x+y+3z=r
2x+y+5z=1

antwort war damals r=0
aber den rechenweg komplett bitte.

das Gleichungssystem ist lösbar wenn der Rang der Matrix M und der Rang der um den Lösungsvektor c (c wird zu einer weiteren Spalte von M)erweiterten Matrix Me gleich sind.
M*x=c
erweiterte Matrix Me=(M/c)

Der Rang der Matrix M ist 2.
Damit das Gleichungssystem lösbar ist, muß Rg(Me)=Rg(M)=2 sein:
Da Me nicht quadratisch ist, muß zur Berechnung des Rangs die 3-reihigen Unterdeterminanten betrachtet werden. Davon gibt es 4: (0;-3r;6r;-3r)
Der Rang von Me wäre nun 3, wenn eine der Determinanten ungleich Null ist und somit wäre das Gleichungssystem unlösbar. Damit also der Rang von Me=2 ist und somit das Gleichungssystem lösbar ist, müssen alle Determinanten Null sein.
Also: -3r=0; 6r=0; Das gilt aber nur für r=0.

Die 2. Aufgabe wird in ähnlicher Weise gelöst, wobei k nur ein Parameter ist und in der Matrix als solcher auftaucht.

Ich hoffe das war verständlich und richtig.

mfG
Sascha

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vielen dank, aber ziemlich schwer sascha.

wir rechneten so

I 1 -1 1 | 2
II 1 1 3 | R
III 2 1 5 | 1

I 0 2 2 |-2R II 0 -1 -1 |-2R+1

0 0 |-6R+1

0z= -6R+1
R = 1/6

mit 1/6 ist R lösbar.

mit der gleichung bei K ist für alle K lösbar.

oder
wenn zb: 0z=o steht dann erfolgt da unendlich viele lösungen das heir:

setze z=k
k= 10 (einen beliebigen wert)
und rechne von unten nach oben das GLS aus.

  1. z einsetzen
  2. mit z(k) wert den y wert in II lösen
  3. dann mit y und z wert den letzten wert (x) errechnen.

stimmt das?

danke

(hole morgen früh gegen 6 uhr mails ab)

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Hallo Dirk,
tut mir leid, wenn ich mit meinem Rechenweg nicht weiterhelfen konnte. Ich weiß, daß es auch einen Rechenweg über elementare Umformungen einer Matrix gibt, den ich aber nicht benutzt habe.

(hole morgen früh gegen 6 uhr mails ab)

Wenn ich Dich recht verstanden habe, hast Du heute Deine Prüfung und diese Antwort für die 2.Aufgabe kommt jetzt sowieso zu spät, aber Dein Ergebnis kann ich bestätigen:
es gibt genau eine Lösung für alle k ungleich -4/5
und es gibt keine Lösungen für k=-4/5

Ich hoffe, es ist trotzdem alles gut gelaufen.

mfG
Sascha