Wahrscheinlichkeitsrechnung: Lotto
Von: , Frage gestellt am Di, 13. Apr 2004
Hallo, Forum!
Ich beschäftige mich gerade mit einem kleinen Problem aus der
Wahrscheinlichkeitsrechnung und würde mich sehr freuen, wenn Ihr die
Gedankengänge und die Rechnung kurz überprüfen würdet. :-)
Schon mal vielen Dank! :-))
Gruss!
[ ] Es ist eine Hausaufgabe.
[x] Es wird eine komplette Lösung präsentiert.
(1) Lotto "k aus n": Wie gross ist Wahrscheinlichkeit p für mindestens
t Treffer, wenn bei jeder Ziehung m>=k Tipps (statt der üblichen k
Tipps) abgegeben werden?
(2) Wie gross ist auf diese Weise die Wahrscheinlichkeit P, bei N
Ziehungen mindestens S mal mindestens t Treffer zu landen?
(3) Wie gross sind p und P fuer k=7, n=49, t=5, m=21; N=411, S=64. D.h.
(i) Lotto "7 aus 49": Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit p für
mindestens 5 Treffer, wenn bei jeder Ziehung 21 Tipps abgegeben
werden?
Beispiel:
Tipps: 1 2 3 6 9 10 11 15 17 18 20 22 27 31 32 33 37 40 43 44 49
3 5 18 20 33 43 47 werden gezogen => 5 Treffer.
(ii) Wie gross ist auf diese Weise die Wahrscheinlichkeit P, bei 411
Ziehungen mindestens 64 mal mindestens 5 Treffer zu landen?
MEINE LÖSUNG:
(1) Sei (x y) der Binomialkoeffizient.
Es gibt insgesamt (n m) Möglichkeiten, m Tipps auf n Stellen zu
verteilen; (k x) Möglichkeiten, x Treffer auf k Gewinnstellen zu
verteilen; (n-k m-x) Möglichkeiten, die restlichen Tipps auf
Nicht-Gewinnstellen zu verteilen.
Die Wahrscheinlichkeit, x Treffer zu landen, beträgt also:
p(x) = [ (k x) * (n-k m-x) ] / (n m)
Damit gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
p := p(x>=t) = p(t) + p(t+1) + ... + p(t) = 1 - [p(0) + p(1) + ... + p(t-1)]
(2) Für N gross gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit
P = Phi[ (N - N*p) / c ] - Phi[ (S - N*p) / c ],
wobei c := sqrt[ N*p*(1-p) ] und Phi das Wahrscheinlichkeitsintegral.
(3) p=0.11; P~0, d.h. die Wahrscheinlichkeit für so viele Treffer ist praktisch Null.