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Punktsysmetrie bei einer Funktion 3ten Grades

Von: , Frage gestellt am Mi, 14. Apr 2004

HI alle zusammen!

Die Ableitung einer Funktion F(x) 3ten Grades, ist eine Quadratfunktion! Diese hat einen Scheitelpunkt bei X₀! Diese Parabel ist achsensymetrisch zur Achse X=X₀ An der Stelle X₀+d und X₀-d, hat man gleiche Funktionswerte! Also hat die Funktion F(x) and diesen Stellen jeweils die gleiche Steigung!

Frage: Kann man hieraus auf Punktsymetrie schließen? Wenn nicht, gibt es dann eine Funktion F(x) 3ten Grades, die an den Stellen X₀+d und X₀-d die gleiche Steigung hat, aber nicht Punktsymetrisch zum Wendepunkt ist???

Danke für die Antworten!

MFG Tobias

1 Antworten zu dieser Frage

1. Antwort von nach 9 Stunden 0 hilfreich

   Re: Punktsysmetrie bei einer Funktion 3ten Grades

   Hallo Tobias! Die Ableitung einer Funktion F(x) 3ten Grades, ist eine
   Quadratfunktion! Diese hat einen Scheitelpunkt bei
   X₀! Diese Parabel ist achsensymetrisch zur Achse
   X=X₀ An der Stelle X₀+d und
   X₀-d, hat man gleiche Funktionswerte! Also hat die
   Funktion F(x) and diesen Stellen jeweils die gleiche Steigung!
   
   Frage: Kann man hieraus auf Punktsymetrie schließen?
   Ja, kann man. Definieren wir erstmal eine Funktion zweiten Grades mit Scheitelpunkt bei x0: g(x) = a * (x - x0)^2 + b. Man sieht leicht, daß diese Funktion achsensymmetrisch um x=x0 ist.
   
   Jetzt suchen wir eine Funktion G, deren Ableitung g ist. Das sind alle Funktionen der Form G(x) = 1/3 * a * (x - x0)^3 + b * x + c. Das schreiben wir mal etwas um zu G(x) = 1/3 * a * (x - x0)^3 + b * (x - x0) + c', wobei c' = c + b * x0. Diese Funktion ist nun punktsymmetrisch zum Punkt (x0, c'):

   G(x0 - x') - c' = - 1/3 * a * x'^3 - b * x'
   = - (1/3 * a * x'^3 + b * x')
   = - (1/3 * a * (x' + x0 - x0)^3 + b * (x' + x0 - x0) + c') + c'
   = - G(x0 + x') + c'

   
   Chris
   

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