Körpererweiterung Algebraisch
Von: , Frage gestellt am Do, 15. Apr 2004
Hallo,
Folgendes: wei zeige ich,daß jede endliche Körpererweiterung K < L algebraisch ist. oder besser wie zeigt man überhaupt, daß etwas algebraisch ist??
2 Antworten zu dieser Frage
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Antwort von nach 3 Stunden 0 hilfreich
Re: Körpererweiterung Algebraisch
Hallo,
man muß zeigen, daß es für jedes Element a aus L ein Polynom p∈K[x] gibt mit p(a)=0 (wobei p<>0). Wenn dim(L/K)=n und a∈L betrachte B={1,a,a2,...,an}.
Fall 1: |B|=n.
Dann ist B linear abhängig. Ergo gibt es k0,k1,k2,...,kn mit mind. einem ki<>0 und
k0 + k1*a + k2*a2 + ... + kn*an=0
Damit ist p(x)=k0 + k1*x + k2*x2 + ... + kn*xn das gesuchte Polynom.
Fall 2: |B|<n
Dann gibt es i<>j mit ai=aj. Hier wählt man einfach p(x)=xi-xj
Gruss
Enno