Hallo,
ich benötige einen Beweis für folgendes:
(Summe von k=1 bis n von 1/k²) < 2
[für n>=1]
Ich denke, ein Beweis über Induktion ist am geeignesten (bzw. das grade behandelte Thema), finde aber keinen Ansatz.
Kann mir jemand helfen?
Hallo Marc,
ich benötige einen Beweis für folgendes:
(Summe von k=1 bis n von 1/k²) < 2
[für n>=1]
Ich denke, ein Beweis über Induktion ist am geeignesten (bzw.
das grade behandelte Thema), finde aber keinen Ansatz.
Kann mir jemand helfen?
Kann ich! Ich würde das allerdings nicht über Induktion machen -- geht vermutlich auch, aber ich finde es einfacher, das direkt zu zeigen.
Zunächst gilt:
summe_{i = 1}^{n} 1/k^2 <= summe_{i = 1}^{unendlich} 1/k^2,
da alle Summanden positiv sind. Wenn wir zeigen können, daß
summe_{i = 1}^{unendlich} 1/k^2 < 2,
dann sind wir fertig.
Es gilt nun
summe_{i = 1}^{unendlich} 1/k^2 = 1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ...
Wir fassen diese Summe geeignet zusammen und stellen fest:
1/1^1 = 1
1/2^2 + 1/3^2 < 1/2^2 + 1/2^2 = 2 * 2/2^2 = 1/2
1/4^2 + 1/5^2 + 1/6^2 + 1/7^2 < 1/4^2 + ... + 1/4^2 = 4 * 1/4^2 = 1/4
1/8^2 + ... + 1/15^2 < 8 * 1/8^2 = 1/8
...
Damit gilt:
summe_{i = 1}^{unendlich} 1/k^2 < 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
Die rechte Seite dieser Ungleichung ist aber gleich
summe_{j = 0}^{unendlich} (1/2)^j,
und das ist eine geometrische Reihe mit q=1/2, die den Wert
1/(1-q) = 1/(1-1/2) = 1/(1/2) = 2 (*)
hat.
Damit ist
summe_{i = 1}^{unendlich} 1/k^2 < 2,
also für alle n > 1
summe_{i = 1}^{n} 1/k^2 < 2.
Wenn ihr die geometrische Reihe nicht hattet, dann brauchst du die, um (*) zu zeigen.
Hoffe, das hilft dir,
Chris
Hey das ganze klingt schon ziemlich gut, danke!! Letztendlich komm ich aber doch noch nicht so ganz damit klar.
Hier meine Fragen:
Wir fassen diese Summe geeignet zusammen und stellen fest:
1/1^1 = 1
Muss es nicht 1/1^2 heißen?
Damit gilt:
summe_{i = 1}^{unendlich} 1/k^2 < 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
Die rechte Seite dieser Ungleichung ist aber gleich
Wieso ist die Summe < und nicht <=
Der Rest mit der geometrischen Reihe und der Schlußfolgerung für meine zu zeigende Aussage verstehe ich auch nicht so ganz, hatten das noch nicht.
Ich hoffe, ich komme nicht zu dumm vor. Sitze aber nun schon den ganzen Tag wie der Och's vorm Berg vor dieser Aufgabe.
LG Marc
