Hallo.
Ein math. Problem.
Gegen ist der Durchmesser einer Spirale und der Abstand zw. den „Rillen“.
Gesucht ist die Gesamtlänge der Linie.
Kann mir jemand helfen?
holli
Gegen ist der Durchmesser einer Spirale
und der Abstand zw. den „Rillen“.
Gesucht ist die Gesamtlänge der Linie.
Kann mir jemand helfen?
Das berechnet man üblicherweise mit einem Kurvenintegral. Dazu brauchen wir zunächst die Gleichung der Spirale in Form der Abhängigkeit des Radius r vom Winkel a:
r(a)=r0+a*d/(2*Pi)
(d=Rillenabstand; r0=Innenradius)
Die Länge der Spirale erhält man durch Integration von r über a:
l(a1)=r0*a1+a12*d/(4*Pi)
Den Winkel a1 des Spiralendes erhält man aus dem Außenradius r1 gemäß
a1=2*Pi*(r1-r0)/d
In die Gleichung für die Länge l eingesetzt erhält man
l= (r12-r02)*Pi/d
Wenn man den Durchmesser D einer Spirale gegeben hat, die im Koordinatenursprung, also bei r0=0 beginnt, erhält man den Außenradius gemäß
r1=(D+d)/2
und die Länge der Spirale beträgt
l=(D+d) 2*Pi/(2*d)
Man bekommt es auch ohne Integral heraus. Da der Umfang eines Kreises gemäß
u=2*Pi*r
linear von dessen Radius abhängt, erhält man die mittlere Länge einer „Umdrehung“ als arithmetisches Mittel der Kreisumfänge zu Innen- und Außenradius:
l2*Pi=Pi*(r1+r0)
Die Länge der gesamten Spirale erhält man, indem man diese Länge mit der Anzahl der Umdrehungen
n=(r1-r0)/d
multipliziert:
l= (r12-r02)*Pi/d