Hallo!
Ich wollte wissen, wie genau man den Kern einer Matrix bestimmt. Und dann noch die Dimension des Kern´s. Und was ist der Rang einer Matrix??
Ich weiß - das sind drei wünsche auf einmal...
Dankeschön schon im vorraus!
Tom
Kern einer Matrix bestimmt
stell dir die matrix als abb vor. Der Kern ist das, was auf die null abgebildet wird.
man spricht eher vom kern einer abbildung als einer matrix. Falls du zB eine zweidimensionale Ebene (R^2) auf die x-Achse (R^1) abbildest, waere die y-Achse (xKomponente = 0) der Kern. Die zugehoerige Matrix sieht so aus:
( 1 0 )
( 0 0 )
>Und dann noch die Dimension des Kern´s.
Die dimension des Unterraumes der auf die Null abgebildet wird. Im obigen Beispiel eins. WEnn du die Matrix diagonalisert hast,
die Zahl der Nullen auf der Hauptdiagonalen.
Und was ist der Rang einer Matrix?
Die Dimension des Unterraumes, der nicht auf die Null abgebildet wird. Also, bei einer diagonalisierten Matrix die Zahl der Eintraege auf der Hauptdiagonalen ungleich Null.
Also
Kern + Rang = Dim der Matrix, falls diese diagonaliesierbar ist.
ich hoffe das stimmt so. Neben mir liegt der Lineare Algebra Fischer, wenn du magst, kann ich da auch nochmal genauer nachschauen. Allerdings ist es bei mir auch schon 2 Jahre her, dass ich das zuletzt angeschaut hab, deswegen hoffe ich, dass meine Antwort so stimmt.
Noch Fragen? Nur zu, schadet mir auch nicht, mich da wieder ein wenig kundiger zu machen.
Ich weiß - das sind drei wünsche auf
einmal...
Dankeschön schon im vorraus!
Tom
Hi Michaela,
zwei kleine Anmerkungen:
Dimension des Bildraumes = Rang
Dimension des Kerns = Defekt
Rang + Defekt = Dim der Matrix, wobei diese Beziehung nicht von einer Diagonalisierbarkeit der Matrix abhängt. Für Endomorphismen, welche nicht normal sind, erfolgt der Beweis über die Jordansche Normalform.
Erbsenzählergrüße ;-)
Ted
PS: Toms Frage nach der Bestimmung ist nicht mit zwei Sätzen beantwortet. Der Algorithmus basiert aber im wesentlichen auf elementaren Zeilen- und Spaltenoperationen.
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Erbsenzählergrüße ;-)
Hi Ted,
ach was, so ist es richtig.... *schaem* haette ich eigentlich vor dem Abschicken nochmal durchlesen sollen, dann waere es mir vielleicht aufgefallen.... Schon traurig, was frau in 2 jahren so alles vergisst...
Dankeschoen fuers richtigstellen :-)
PS: Toms Frage nach der Bestimmung ist
nicht mit zwei Sätzen beantwortet. Der
Algorithmus basiert aber im wesentlichen
auf elementaren Zeilen- und
Spaltenoperationen.
im endeffekt laeuft es auf das diagonalisieren der matrix hinaus.
(natuerlich gehen wir von einer quadratischen matrix aus, notfalls pappt man eben noch spalten oder zeilen mit nullen dran). Allerdings lassen sich nicht alle matrizen auf diagonalform bringen, man kann aber zeigen, dass sich alle auf die sogenannte Jordannormalform bringen lassen,
bei der Jordannormalform stehen dann noch ab und zu einsen auf der Diagonale neben (ueber oder unter, ist egal) der Hauptdiagonalen. Das sollte man sich dann aber wirklcih in einem buch anschauen.
wenn du in die uni-bib kommst:
Peter Furlan, das gelbe rechenbuch 1
beschreibung der rechenerei,aber ohne beweise
jänich, lineare algebra
sicherlich nicht das beste buch, aber die basics sind verstaendlich (mehr steht dann aber auch nicht drin), koennte aber reichen
Fischer, Lineare Algebra
knapp und buendig, sehr mathematische formulierungen
Kowalski, L.A.
hab ich gern gehabt, aber die alten Ausgaben haben eine sehr gewöhnungsbeduerftige notation
oder du fragst uns einfach noch mal.
michaela
Dankeschöön!
-)
Tom