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Re: Stapeln...
Hallo!
Etwas physikalisch-abstrakter lautet Eure Aufgabe so:
N + 1 homogene Quader der Länge l werden übereinander gestapelt,
wobei alle Quader gegeneinander in die gleiche Richtung verschoben
werden.
Frage1: Um wieviel darf man die Quader *maximal* verschieben,
ohne daß der Stapel umkippt?
Frage 2: Wie groß ist dann der "Gesamtüberhang" des Stapels, also
die Summe aller Verschiebungen, als Funktion der Quaderanzahl?
Lösung
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Zuerst numeriere man die Quader mal durch: Der oberste werde mit
Q_0, der zweitoberste mit Q_1 usw. bezeichnet, bis zum untersten,
der mit Q_N bezeichnet werde.
Um das Problem zu lösen, muß man zu folgender Erkenntnis kommen:
Der aus den Quadern Q_0 bis Q_i (i beliebig, 0 <= i <= N-1) beste-
hende *Teilstapel* bleibt gerade dann noch ohne zu kippen auf dem
unmittelbar darunter liegenden Quader Q_i+1 stehen, wenn sich der
Teilstapel-Schwerpunkt genau über der "inneren" Seitenfläche von
Q_i+1 befindet. Die gesuchten Verschiebungen ergeben sich aus der
Forderung, daß diese Bedingung *für alle i = 1,...,N* gelten soll.
Setzt man das "in Mathe" um, erhält man eine Rekursionsformel für
die Schwerpunktspositionen der Quader, für deren Ergebnisse sich
schnell eine Vermutung aufdrängt, welche sich mittels vollstän-
diger Induktion beweisen läßt.
Mit den Schwerpunktspositionen hat man dann auch sofort die in
Frage 1 gesuchten Maximalverschiebungen. Das Endresultat lautet:
Der oberste Quader ist gegenüber dem untersten genau dann maximal
verschoben, wenn der i-te Quader gegenüber dem (i-1)-ten um das
Stück l/(2i) verschoben wird.
Das heißt: Q_0 muß gegenüber Q_1 um l/2 verschoben werden,
Q_1 gegenüber Q_2 um l/4,
Q_2 gegenüber Q_3 um l/6,
Q_3 gegenüber Q_4 um l/8,
......
und Q_N-1 gegenüber Q_N um l/(2*N).
Die Antwort auf Frage 2 ist höchst erstaunlich. Der "Gesamtüber-
hang" u(N), also die Summe aller Verschiebungen, die in dem Stapel
auftreten, beträgt
N
l --- 1 l
u(N) = --- > --- = --- (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/N)
2 --- i 2
i=1
Da diese Summe aber für N -> Unendlich divergiert (wenn auch sehr
langsam), folgt, daß u(N) nicht nach oben beschränkt ist, d. h.
man kann *jeden beliebig großen* Gesamtüberhang erreichen, wenn
nur die Anzahl der Quader hinreichend groß ist!
Hier noch einige konkrete Werte:
N u(N)
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1 0.5 l
2 0.75 l
3 0.9166666 l
4 1.0416666 l
5 1.1416666 l
6 1.225 l
10 ca. 1.4645 l
31 ca. 2 l
227 ca. 3 l
1674 ca. 4 l
Die Überhangswerte für N = 32 und N = 104 könnt Ihr jetzt leicht
selbst ausrechnen bzw. mit einem kleinen Progamm z. B. in Pascal
ausrechnen lassen.
Ich hoffe, meine Ausführungen waren einigermaßen verständlich.
Martin
