orthogonale Matrizen
Von: , Frage gestellt am Fr, 20. Aug 2004
Hallo,
warum gilt bei orthogonalen Matrizen, dass die inverse Matrix zu A gerade A-transponiert ist? (Beweis wäre schön...)
das wars schon
Gruß Martin
4 Antworten zu dieser Frage
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Re: orthogonale Matrizen
Hi
Gegenfrage: Wie definierst Du eine orthogonale Matrix? Meistens wird das nämlich mit der Eigenschaft gemacht, die Du bewiesen haben möchtest.
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Re^2: orthogonale Matrizen
Gegenfrage: Wie definierst Du eine orthogonale Matrix?
Meistens wird das nämlich mit der Eigenschaft gemacht, die Du
bewiesen haben möchtest.
Hallo,
also: Eine Matrix heißt orthogonal, wenn ihre Spalten bzgl. des Standardskalarproduktes ein Orthonormalbasis bilden.
Gruß Martin
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Re^3: orthogonale Matrizen
Hallo, also: Eine Matrix heißt orthogonal, wenn ihre Spalten bzgl.
des Standardskalarproduktes ein Orthonormalbasis bilden.
In diesem Falle bilden die Zeilen der transponierten Matrix At eine Orthonormalbasis. Und wenn du dann AtA ausrechnest, stehen auf der Diagonalen die Skalarprodukte aus gleichen Basisvektoren, welche 1 ergeben und auf den Nichtdiagonalen stehen die Skalarprodukten aus unterschiedlichen Basisvektoren, welche 0 ergeben.
Du erhälst also die Einheitsmatrix und ergo ist At = A-1.
Allerdings wird in der Tat At = A-1 meistens direkt als Definition für orthogonale Matrizen benutzt.
Gruß
Oliver
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Re: orthogonale Matrizen
mist. da fragt mal wer nach meinem lieblingsgebiet und ich bin den ganzen tag lernen... allerdings hatte ich auch als defintion tA*A=A*tA=E. womit dann auch sofort trivial wäre, wieso det(A)=1.
mehr über orthogonale matrizen! :o) [Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]