Re^3: Varianz: endliche Verzerrungskorrektur
Hallo Jochen,
E(S2) = E(M(X2) - E(M(X)2) = V(X) + (E(X)2) - V(X)/n - (E(X)2) = (n-1)/n V(X)
Steht E(y) für den Erwartungswert von y?
ja, E(X) ist der Erwartungswert von X, M(X) der Mittelwert von X und V(X) die Populationsvarianz von X.
Wie komme ich auf E(S2) = E(M(X2) -
E(M(X)2) ?
Weil S2 = M(X2) - M(X)2.
Daß dies gilt, läßt sich durch die Anwendung simpler Algebra aus der von Dir genannten Definition der Stichprobenvarianz zeigen.
Wenn man dann den Erwartungswert der Stichprobenvarianz berechnen will, bildet man die Differenz der Erwartungswerte der Terme, weil E(X-Y) = E(X) - E(Y), so daß
E(S2) = E(M(X2)) - E(M(X)2)
Diese Verzerrung läßt sich dadurch korrigieren, daß die Stichprobenvarianz mit
n/(n-1) multipliziert wird:
Auch klar, _daß_ es so ist. Aber warum?
Ich verstehe nicht, warum
s2 = n/(n-1) S2
Warum kann(muß) man das gleichsetzen? Ist das Konvention oder
gibt es (was ich vermute) einen zwingenden Mathematischen Grund?
Weil der Erwartungswert der Stichprobenvarianz - wie gezeigt - gleich (n-1)/n V(X) ist. Wenn man diese Verzerrung korrigieren will, muß man die Stichprobenvarianz mit n/(n-1) multiplizieren, woraus wiederum - den Regeln der Mathematik entsprechend - die Formel für die korrigierte Stichprobenvarianz folgt.
Das sieht man so:
E(S2) = (n-1)/n V(X)
E(n/(n-1)S2) = n/(n-1) * (n-1)/n * V(X)= V(X)
Deshalb ist die korrigierte Stichprobenvarianz ein erwartungstreuer Schätzer der Populationsvarianz.
Wäre die "endliche Verzerrungskorrektur" anders (und wie
anders), wenn ich mit einer Stichprobe vom Umfang n die
Varianz einer _endlichen_ Grundgesamtheit vom Umfang N
schätzen will? Es sollte doch dann anders sein, weil hier ja
für ein endliches n (n=N) ja die Verzerrungskorrektur ja schon
1 ergeben muß. Wie ginge das aus o.g. Formeln hervor?
Wenn Du eine Vollerhebung (Stichprobenumfang = Populationsumfang) machst, dann ist die Stichprobenvarianz gleich der Populationsvarianz und die Korrektur entfällt einfach. Du brauchst nur dann eine Korrektur, wenn Du statt des Populationsparameters (hier die Populationsvarianz) einen Schätzer desselben verwendest.
PS: Tut mir Leid,
Kein Problem. :-)
Beste Grüße,
Oliver Walter
